Решение обыкнов.дифференц. уравнений в комплексной плоскости

[evgeniy]

При непрерывно дифференцируемой правой части обыкновенные дифференциальные уравнения имеют единственное решение. Рассмотрим уравнение
$\frac{dx}{dt}=1+x^2$
решение этого дифференциального уравнения стремится к бесконечности. Это связано с положительно определенной правой частью этого дифференциального уравнения. Будем его решать по неявной схеме
$x=\frac {1-\sqrt{1-4(x_0+h)h}}{2h}$
при постоянном шаге, эта неявная схема определит комплексное решение при
$x_0>1/4h-h$. При шаге, стремящемся к нулю эта схема определит стандартную явную схему решения. но оно стремится к бесконечности, т.е. нарушаются условия существования и единственности решения. При этом возникает комплексное решение.
Каков же физический смысл комплексного решения. Оказывается, что в трехмерном случае (три комплексные координаты), действительная часть решения соответствует градиентной части решения, а мнимая соленоидальной. Т.е. используя это комплексное решение уравнения Навье Стокса, получим как градиентное, так и соленоидальное решение.
РЕшение этого дифференциального уравнения будет $x(t)=tan[t-t_0+arctan(x_0+i\delta)]$, где в начальные условия задали малую мнимую константу. РЕшение запишется в виде
$x(t)=-i\frac{1-exp[-2i(t-t_0+arctan(x_0+i\delta))]}{1+exp[-2i(t-t_0+arctan(x_0+i\delta))]}=(-i+iexp[-2i(t-t_0+arctan(x_0+i\delta))])[1-exp[-2i(t-t_0+arctan(x_0+i\delta))]+...]$
Т.е. получится колебание вокруг мнимой единицы. Отметим, что мнимая часть решения может расти, а может оставиться малой. Если положения равновесия комплексные, то мнимая часть растет. Т.е. обыкновенные дифференциальные нелинейные уравнения содержат комплексное решение, если координаты положения равновесия у них комплексные. Можно доказать, что если положения равновесия комплексные, то обязательно существует сходимость к положению равновесия.
Возможно это используется при распознавании образов, когда определенные границы начальных значений это признаки принадлежности к определенному классу, а сходимость к определенному положению равновесия это выбор признака.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #322668 писал(а):

При шаге, стремящемся к нулю эта схема определит стандартную явную схему решения. но оно стремится к бесконечности, т.е. нарушаются условия существования и единственности решения. При этом возникает комплексное решение.

эта схема определит Как определит?
но оно стремится к бесконечности, т.е. нарушаются условия существования и единственности решения.
Нарушение условий существования и единственности ни малейшего отношения к стремлению на бесконечность не имеет.

evgeniy в сообщении #322668 писал(а):

Оказывается, что в трехмерном случае (три комплексные координаты), действительная часть решения соответствует градиентной части решения, а мнимая соленоидальной.

Формулки напишите. Без них обычное для Вас размахивание руками с зажатыми в них умными словами.

evgeniy в сообщении #322668 писал(а):

Можно доказать, что если положения равновесия комплексные, то обязательно существует сходимость к положению равновесия.

С доказательствами слабовато. Даже формулировки нет! Что такое 'существует сходимость'?

[evgeniy]

При малом шаге, если расписать квадратный корень, получится схема решения
$x=x_0+(1+x_0^2)h+0(h)^2$. Причем решение $x=tant $, по этой схеме стремится к бесконечности. Т.е. правая часть дифференциального уравнения стремится к бесконечности, значит правая часть не непрерывна и нарушаются условия существования и единственности решения.
Можно доказать, что комплексное трехмерное решение представимо в виде $x=grad \fi+i *rot \vec A$. Это доказать не сложно, но пусть shvedka подумает.
Сходимость означает, что решение стремится к положению равновесия по закону $x_l(t)=a_l+\sum_{k=1}^3 g_{lk}exp(\lambda_k t)c_k,Re \lambda<0,l=1,...,3$, где величина $a_l$ комплексная.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #324904 писал(а):

по этой схеме стремится к бесконечности

По какой переменной?
И Вам еще долго-долго объяснять, почему дурное поведение конечноразностных приближений к решению влечет дурные свойства самого решению.

evgeniy в сообщении #324904 писал(а):

значит правая часть не непрерывна и нарушаются условия существования и единственности решения.

То, что для этого уравнению нарушены условия классической теоремы Пикара, то есть условие Липшица, видно невооруженным глазом, даже лобик не поморщив.

evgeniy в сообщении #324904 писал(а):

Это доказать не сложно, но пусть shvedka подумает.

Здесь ,как-то, принято, что заявитель сам представляет доказательства, не перекладывая на других. Хотя, судя по количеству уже отловенного вранья, он не со всеми своими теоремами сам справляется.

[evgeniy]

Вам не понятно по какой переменной решение стремится к бесконечности, но там одна переменная и написана формула $x(t)=tant$, что тут непонятного. И мне не нужно объяснять, почему явная схема дает бесконечное решение. Я привел вид этого решения, соответствующего численной схеме, а дальше все очевидно.
Вы утверждаете

shwedka в сообщении #324610 писал(а):

Нарушение условий существования и единственности ни малейшего отношения к стремлению на бесконечность не имеет.

а когда я доказываю, что имеет, Вы говорите, что это очевидно.
Все доказывать невозможно, форум, это не энциклопедия и не учебник, чтобы излагать все идеи. Форум это проблеммный материал, для обмена идеями. И идея возникновения комплексного решения у обыкновенного дифференциального нелинейного уравнения заслуживает обсуждения на форуме.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #325014 писал(а):

когда я доказываю, что имеет

Доказатевльство не приведено.
Нарушение условий -- видно по ПРАВОЙ части.
Вы же пытаетесь вывести их из свойств решений.

про идеи-- было бы чем обмениваться.

[Theodor]

Интересно. Но, увы, не всегда понятно.

evgeniy в сообщении #322668 писал(а):

Оказывается, что в трехмерном случае (три комплексные координаты), действительная часть решения соответствует градиентной части решения, а мнимая соленоидальной

"В трехмерном случае" - это когда $x$ - трёхмерный комплексный вектор? Если да, то непонятно, чем он принципиально отличается от одномерного, ведь в этом случае исходная система $\frac{dx}{dt} = 1+x^2$ переписывается в виде трёх одномерных $\frac{dx_i}{dt} = 1+x_i^2$, $i=1,2,3$.

evgeniy в сообщении #322668 писал(а):

РЕшение этого дифференциального уравнения будет $x(t)=\tan[t-t_0+\arctan(x_0+i\delta)]$, где в начальные условия задали малую мнимую константу.

Расскажите чуток поподробнее, как это решение получилось?

evgeniy в сообщении #322668 писал(а):

Если положения равновесия комплексные, то мнимая часть растет.

"положения равновесия" - это точки $\{x: \frac{dx}{dt}=0\}$ , я правильно понял? Но ведь раз $\frac{dx}{dt}=1+x^2$, то точек равновесия две - $i$ и $-i$, и они обе комплексные. Зачем "если" в Вашем предложении? Или это - уже попытка обобщить сей метод и на другие ОДУ?

evgeniy в сообщении #324904 писал(а):

Можно доказать, что комплексное трехмерное решение представимо в виде $x=\grad \varphi+i *\rot \vec A$

Что есть $\varphi$ и А? Откуда они взялись? Или утверждается, что они всего лишь существуют?

2shwedka:
Понятно, что стандартное ОДУ $\frac{dx}{dt} = 1+x^2$ нельзя решать таким способом. Как и нельзя решать $x^2=-1$ в действительных числах. Мы получим решение не его, а чего-то другого. А вот это другое может где-нибудь и пригодиться.

...если, конечно, нормально всё это дело оформить...

[evgeniy]

Можно рассматреть трехмерную задачу
$\frac {dx_l}{dt}=f_l(x_1,x_2,x_3),l=1,...,3$
Она может иметь комплексные решения, если положения равновесия комплексные. Я записал одно уравнение,так как для трех уравнений неявная схема сложна. Так вот если решение этой системы комплексное, то оно состоит из градиентной и соленоидальной скорости.
Вообще то, это идея решения уравнения Навье - Стокса. Оно сводится к бесконечной системе дифференциальных уравнений
$dx_l/dt=F_{lpq} x_p x_q+G_{lp}x_p+H_l$ (1)
где по повторяющимся индексам производится суммирование. Это решение описывает временную часть скорости потока. Полностью скорость задается
$V_l(t,\vec r)=\sum_n x_{ln}(t) h_n(\vec r)$, где пространственная часть удовлетворяет граничным условиям. Получается бесконечная система обыкновенных дифференциальных уравнений из подстановки в уравнение Навье - Стокса умножение на пространственную компоненту с другим индексом и интегрировании по пространтсву. Получается бесконечная система нелинейных дифференциальных уравнений (1). Так вот трехмерная комплексная скорость имеет действительную градиентную и мнимую соленоидальную часть. Доказывать это можно расписав оператор ротора и дивергенции, ротор нечетен, а дивергенция четна, и осуществив инверсию координат и вычисляя действительную и мнимую часть ротора и дивергенции. Много индексов и муторно писать. так вот оказывается, что дивергенция мнимой части равна нулю, значит мнимая часть является ротором, и ротор действительной части равен нулю, значит действительная часть градиент.
Только не совсем так, не такое представление комплексной скорости. трехмерная скорость представляется
$\vec V=grad\gamma+i*rot \vec A$ , где $\gamma,\vec A$ необходимо определить из решения уравнения. ПРичем уравнение Навье- Стокса для несжимаемой вязкой жидкости и уравнение неразрывности запишутся одно относительно $\vec A$, а другое относительно $ \gamma $. Читайте Ландау Гидродинамика, если взять ротор от уравнения Навье-Стокса, то давление уйдет, и останется ротор скорости, т.е. градиентная часть скорости сократится. В уравнении неразрывности содержит дивергенцию, значит роторная часть скорости сократится.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #325188 писал(а):

Оно сводится к бесконечной системе дифференциальных уравнений
$dx_l/dt=F_{lpq} x_p x_q+G_{lp}x_p+H_l$ (1)
где по повторяющимся индексам производится суммирование

С любой бесконечной системой Вы употеете, пока что-то сможете сказать о разрешимости и тп.

evgeniy в сообщении #325188 писал(а):

Много индексов и муторно писать.

А читать еще муторнее, без математического текста.

evgeniy в сообщении #325188 писал(а):

Читайте Ландау Гидродинамика, если взять ротор от уравнения Навье-Стокса, то давление уйдет, и останется ротор скорости

Неправда. Останется их произведение в конвекционном члене.

[evgeniy]

Напишу как из дифференциального уравнения получается функция тангенс, была такая просьба, а я забыл. Дифференциальное уравнение сводится
$\frac {dx}{1+x^2}=darctan(x)=dt$
Откуда получаем x=tan(t+c). А далее вычисляем константу "с".
Бесконечную систему уравнений естественно сводим к конечной. Это соответствует конечному числу членов ряда. Тут ничего не поделаешь, это приближенный метод.
Я хотел сказать, что скорость войдет с оператором ротор, нелинейный член действительно останется, он и приведет к квадратичному члену. Но в роторе скорости уйдет градиентный член и уравнение останется только относительно соленоидального члена.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #325943 писал(а):

Я хотел сказать, что скорость войдет с оператором ротор, нелинейный член действительно останется, он и приведет к квадратичному члену. Но в роторе скорости уйдет градиентный член и уравнение останется только относительно соленоидального члена.

Без формул все бессодержательно.

[evgeniy]

Формулы можно посмотреть у Ландау Лифшица Гидродинамика.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #327717 писал(а):

Формулы можно посмотреть у Ландау Лифшица Гидродинамика.

Неправда. ЛЛ ничего не говорят о комплексном предтавлении скоростей в трехмерном НС. Так что пишите формулы или стыдитесь молча.

[evgeniy]

Вы очень странный человек. Я не говорю, что у Ландау комплексная скорость. Комплексная скорость это мое изобретение. Я говорю об использовании операции ротор над скоростью. Т.е. в уравнении, приведенном у Ландау скорость входит в сочетании с оператором ротор. Так вот каждую компоненту трехмерной скорости надо рассматривать как комплексную. При этом действительная часть это градиент скаляра, а мнимая ротор вектора. Не верите, не надо. Или опровергайте.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #327888 писал(а):

Или опровергайте.

Опровергать нечего. Напишите связный текст, я укажу конкретную ошибку.