Решить уравнение

[Mathusic]

Можно ли получить конечную формулу для корней
уравнения $(x+y)^p=x^p+y^p \mod{k}$,
где $p$-простое, $k \in \mathbb{N} /\{1,2,p\}$, $x,y \in \mathbb{N}$, $(x,y)=1.$
Программа, например, для тройки (и остальных простых) выдаёт очень много решений.

Например, $84^3+85^3 \equiv (84+85)^3 \mod 182.$

[ananova]

Если $p: (p, \varphi(k))=1$, то для любого $x$ и $y$ будет выполняться указанное Вами сравнение, если $(x,k)=1, (y,k)=1$. Здесь $\varphi(k)$ - функция Эйлера.
Может вот это поможет Вам : http://fermat.2000.ru/fermats/vakhterov_vendt_criterion.htm
Перепроверьте на всякий случай, а то я давно не возвращался к этой теме... не исключаю, что потребуется оговорка.

[age]

Mathusic
Уравнения или сравнения? Сравнение имеет бесчисленное множество решений для любых $p$.

[Mathusic]

age в сообщении #327473 писал(а):

Mathusic
Уравнения или сравнения? Сравнение имеет бесчисленное множество решений для любых $p$.

А разница? Там же стоит $\mod k$.

[age]

Mathusic

Mathusic в сообщении #327234 писал(а):

Например, $84^3+85^3 \equiv (84+85)^3 \mod 182.$

$84^3+85^3 \equiv (84+85)^3 \mod 182=169\mod 182=(84+85)\mod 182$

Откуда следует, что искомые $k$ удовлетворяют условию:
$(x+y)^p-(x^p+y^p)\div k=p\cdot xy(x+y)\cdot F(x,y)\div k$
Т.е. числам $k$ будут удовлетворять любые делители указанного многочлена.
В частности для $p=3$ получится $k\ |\ 3xy(x+y)$.
Для вашего примера числами $k$ также будут: $2,3,5,6,7,9,10,12,13,14,15,17,20,21,35,39,42,45,...$
Пример:
Например, $84^3+85^3 \equiv (84+85)^3 \mod 45.$

Тривиальная задача, если честно.

[Mathusic]

age в сообщении #327816 писал(а):

Тривиальная задача, если честно.

Похоже вы не понимаете, что значит "формула".