Рохлин, "О преподавании математики нематематикам"

[paha]

Не могу не поделиться:))

Блестящая лекция Владимира Абрамовича Рохлина на заседании Ленинградского Математического Общества о преподавании математики нематематикам, прочитанная в восемдесят первом году, была записана на магнитофон Б.А.Лифшицем и недавно запись была расшифрована и опубликана в новой серии сборника "Математическое просвещение". Вот pdf-файл с этой расшифровкой.

http://www.pdmi.ras.ru/~olegviro/Rokhlin-lect-LMO.pdf

[Padawan]

Цитата:

Будучи математиком, преподаватель не хочет никого надувать. Ему стыдно надувать кого бы то ни было, в том числе и своих студентов. Он хочет им что-то доказывать.

Точно, точно

[AD]

Мне понравилось
Только вот опять не понял, что делать-то? Ну да, они всё не так понимают. И?

[мат-ламер]

Прочитал Рохлина. Это что - преподавать или не преподавать пределы - одна из центральных проблем мат. образования технарей? Да их сейчас в школе проходят. Или, "неотрицательное число, которое меньше всех положительных - это нуль". Что, из этого вытекают все остальные свойства действительных чисел? (По-моему, это тавтология, а не аксиома). Или интегрирование вводить на основании аксиоматического подхода, а не через меру? Это ещё более искуственнее. Вообщем, со многим согласен, но кое-что не понял.

[Andrei P]

Немного о себе. Сейчас преподаю, в том числе волею случая, математику (недавно). Но по образованию инженер-артиллерист. Насчет курсов математики для ВТУЗов согласен с Рохлиным. Пробовал лет восемь назад прочитать инж-экологам курс почти без доказательств и с минимумом матязыка. По ходу курса уровень строгости вынужденно постоянно возрастал, сказывались ограничения наивно-аксиоматического метода (при моем недостаточном уровне и нехватке времени).
Решение задачи нормального курса математики для инженеров на массовом уровне пока нет. Инженеры в массе своей математику боятся и, многие, ненавидят. Пример: неплохая группа, я в курсе "теория упругости" даю задачу Лямэ (напряжения в толстостенной трубе под давлением), получаем диф. уравнение Эйлера. В курсах сопромата и механики я стараюсь остановится на каких-либо математических моментах, если ненадолго (кстати, за это получал от завкафедрой сопромата "о математике пусть болит голова у кафедры математики"). Никто из студентов не знает ДУ Эйлера (в стандартный курс не входит). Делаю необходимые подстановки, получаю уравнение:
$\ddot{y} - y = 0.$
Ни один не смог вспомнить, как решать. Ровно год назад студенты изучали ДУ в курсе математики.

Боюсь, что раз на массовом уровне решения задачи не найдено, это очень непростое дело.

Но есть еще курсы математики для "философов". В прошлом году читал курс математики (сильно кастрированный) для инженерно-педагогической специальности (два семестра по две пары в неделю). Первый год преподаю на кафедре, попросили оценить преподавателя, который у меня проводил практические занятия. Тот сказал, что я читаю интересно и "зажигательно", и что неплохо дать мне на следующий год физкультурников. Я воспринял как шутку. А в конце года при распределении нагрузки получил к своему потоку еще поток факультета ФиС (Физкультура и спорт). Курс еще меньше по часам в полтора раза по сравнению с курсом ИП специальности. Студенты предельно немотивированные к занятиям математикой.
Даже не знаю, как построить курс. Образовательный стандарт стереотипен, как и у инженеров, с некоторым уменьшением. Будь моя воля, я бы сделал упор на статистику (она им может понадобиться), общее понимание и интегральное исчисление (понимание, а не тригонометрические подстановки). Но пока не знаю, что делать. Коллеги обычно в таких случаях читают стандарт.

[мат-ламер]

Цитата:

Никто из студентов не знает ДУ Эйлера (в стандартный курс не входит).

Если это уравнение Эйлера-Лагранжа, то оно должно быть в быть в курсах вариационного исчисления и аналитической механики. В принципе это фундамент механики. А как инженеру без механики? Простейшие дифференциальные уравнения (типа мат. маятника) надо изучать в школе.

Цитата:

Решение задачи нормального курса математики для инженеров на массовом уровне пока нет.

Когда-то были сделаны попытки написания таких курсов (Зельдович, Мышкис). Но эти попытки оганичились самыми началами анализа. Хороший курс дифференциальных уравнений на простом уровне написать непросто. Я ещё будучи школьником пытался разобраться в ДУ, но понял тогда мало. Приведу примеры моих затруднений. Вот есть диф. уравнение $dy/dx=P(x)/Q(y)$. Тут вроде всё понятно. Далее авторы популярных книг записывают эту уравнение так $P(x)dx=Q(y)dy$. Тут я уже начинал тормозить. Как это они так разрезали производную на две части? И вообще, последнее уравнение описывает какой объект? Если Вы думайте, что дифференциалы, то пожалуйста, определите, чему они будут равны. Я думаю, что последнее уравнение описывает поле направлений и отнюдь не равносильно первому. (В университетском курсе Петровского всё изложено понятно). Далее авторы популярных книг каким-то непостижимым образом дорисовывают в последнем уравнении знаки интегралов и получают решение первого уравнения. Тут я полностью терял нить изложения, и всё происходящее напоминало мне шаманские пляски с бубном. Позже я прочёл в строгих курсах, что это уравнение сводится к уравнению в полных дифференциалах. Но уравнение в полных дифференциалах я тоже не понимал, пока не ознакомился с простейшими понятиями диффренциальных форм (замкнутые, точные формы). Так что простой и понятный (в то же время строгий) курс дифференциальных уравнений написать не так просто. Возьмите стандартный курс ДУ для инженеров (например, Романко). Там достаточно много сложных понятий, и не уверен, что средний инженер это всё освоит. Например, нужно помнить, что изучалось раньше в других курсах. (Например, не забыть, что такое жорданова нормальная форма матрицы и матричная экспонента. Основы ТФКП надо знать при изучении операционного метода.). А то что студенты быстро всё забывают - это вполне естественно. Это вполне нормальная физиологическая реакция организма на избыток информации. Мозг перестраивает свою работу с долговременной на кратковременную память, и работает по принципу - сдать экзамен и забыть. Чтобы с этим бороться, можно например, разбить курс ДУ на основной и дополнительный. А дополнительный пусть изучают лишь те, кто претендует на красный диплом или на приём в аспирантуру.

[alex1910]

мат-ламер в сообщении #343636 писал(а):

Чтобы с этим бороться, можно например, разбить курс ДУ на основной и дополнительный. А дополнительный пусть изучают лишь те, кто претендует на красный диплом или на приём в аспирантуру.

Было уже - разделение предметов на основные и второстепенные. В фильме "Доживем до понедельника" :)

[Maslov]

(Оффтоп)

alex1910 в сообщении #343976 писал(а):

Было уже - разделение предметов на основные и второстепенные. В фильме "Доживем до понедельника" :)

Там, насколько я помню, не о предметах, а о поэтах речь шла. Конкретно -- о Баратынском.

[ewert]

мат-ламер в сообщении #343636 писал(а):

Чтобы с этим бороться, можно например, разбить курс ДУ на основной и дополнительный.

Это дороговато выйдет, но, в принципе, возможно. У нас у компьютерщиков, в принципе, так и делается. Основной поток получает очень куцие сведения о ДУ (несколько лекций во втором семестре) -- основные понятия, простейшие уравнения 1-го порядка, решение линейных уравнений и систем операционным методом и, кажется, всё. В общем, только чтоб ознакомиться с предметом, да им больше и не нужно. А вот тем из них, кто потом специализируется на прикладной математике -- дополнительно читается уже достаточно серьёзный двухсеместровый курс.

Тут масса проблем методического характера. Вот, скажем:

мат-ламер в сообщении #343636 писал(а):

Например, не забыть, что такое жорданова нормальная форма матрицы и матричная экспонента.

Студенты мучаются этим в курсе алгебры, и даже не из-за чудовищной громоздкости (по сравнению другими разделами) -- в конце концов, в детали доказательств можно и не вникать, их обычно и не дают -- а потому, что не понимают: ну нахрена, нахрена всё это нужно?... В отличие, скажем, от просто диагонализации матрицы, которая подкрепляется примерно параллельно излагаемыми экстремумами функций нескольких переменных. А нужно это вот ровно для изучения ДУ и, грубо говоря, ни для чего больше. Однако курса ДУ (такого, в котором это действительно требовалось бы) -- на тот момент ещё нет.

[alex1910]

Извиняюсь за оффтоп.

1. А что такого громоздкого в вычислении жордановой формы, если, конечно, не мучить людей большими матрицами?

2. Приведение к жордановой форме - не единственный способ вычисления экспоненты.

[ewert]

(Оффтоп)

alex1910 в сообщении #343988 писал(а):

Извиняюсь за оффтоп.

Ничего, я Вас поддержу.

alex1910 в сообщении #343988 писал(а):

А что такого громоздкого в вычислении жордановой формы,

Всё. Уже даже доказательство существования такого разложения -- многостранично и к тому же обычно привлекает достаточно экзотические (для собственно матричной алгебры) понятия. С вычислением -- не лучше: даже для матриц 3 на 3 процедура (вообще говоря) не вполне тривиальна; если же рассматривать мало-мальски общую ситуацию -- то в любом варианте занудна донельзя. Мне, во всяком случае, ничего прозрачного не попадалось.

alex1910 в сообщении #343988 писал(а):

Приведение к жордановой форме - не единственный способ вычисления экспоненты.

Интересно, а какой ещё?... (речь именно о вычислении, а не о формальном определении)

Кроме того, для матрицы $e^{tA}$ представляет интерес не только и даже не столько способ её явного вычисления, сколько выявление характера её зависимости от $t$. А тут без жордановой формы никак.

[alex1910]

ewert в сообщении #344004 писал(а):

[Интересно, а какой ещё?... (речь именно о вычислении, а не о формальном определении)

Кроме того, для матрицы $e^{tA}$ представляет интерес не только и даже не столько способ её явного вычисления, сколько выявление характера её зависимости от $t$. А тут без жордановой формы никак.

Ну как. Пусть известны все корни характеристического многочлена.
Построим по этим корням ( с учетом кратностей) интерполяционный многочлен экспоненты, тогда экспонента равна значению интерполяционного многочлена в матрице.

См., например, Винберг, курс Алгебры, 2001, стр. 253.

-- Чт авг 12, 2010 17:46:56 --

Если все это делается для решения ДУ - просто выражаем его как линейную комб. собственных функций с неопр. коэфициентами.

Коэфициенты находим из начальных условий задачи Коши.

[ewert]

alex1910 в сообщении #344017 писал(а):

Построим по этим корням ( с учетом кратностей) интерполяционный многочлен экспоненты, тогда экспонента равна значению интерполяционного многочлена в матрице.

С какой стати-то равна?... и что такое вообще экспонента?... это всё безыдейно.

alex1910 в сообщении #344017 писал(а):

Если все это делается для решения ДУ - просто выражаем его как линейную комб. собственных функций с неопр. коэфициентами.

А там нет собственных функций как класса, это из совсем другой оперы.

[alex1910]

1. Равна, потому что exp(At)=g(At)+Pol(At), причем g(At)=0:)

Идея довольно старая и известная, у Винберга хорошо описанная.

2. Собственные функции при решении ДУ - вполне себе та опера. И нахождение их правильной комбинации не требует ни вычисления матричной экспоненты, ни, тем более, жордановой формы.

-- Чт авг 12, 2010 22:34:37 --

Кстати, идея, естественно, работает для любой аналитической функции.

[ewert]

alex1910 в сообщении #344055 писал(а):

Собственные функции при решении ДУ - вполне себе та опера.

Нет. При решении ДУ как таковых собственных функций не бывает как класса. Возможно, некоторые энтузиасты способны назвать собственными функциями фундаментальные решения, но это диверсия -- неприлично подрывать установившуюся терминологию. Тем более, что собственные элементы в общепринятом понимании с известными оговорками определяются однозначно, фундаментальные же решения -- ни в каком смысле.

alex1910 в сообщении #344055 писал(а):

И нахождение их правильной комбинации

"Правильных" комбинаций не бывает: любая комбинация может оказаться правильной или нет -- в зависимости от того, удовлетворяет или нет условиям задачи.