Доказать существование значения производной

[Tumofeu]

$f(x)$ имеет непрерывную производную при $x$, принадлежащим $(0;+\infty)$; $f(0)=1$, $|f(x)|\le e^{-x}$ при $x\ge0$. Доказать, что существует такой $x_0$, что $f'(x_0)=-e^{-x_0}$

Мне кажется, что здесь нужно использовать теорему Лагранжа о средних. Но вот как именно и какой вывод из этого сделать - пока не ясно. Буду благодарен если поможете.

[Хорхе]

Тут условия сильнее, чем на самом деле надо. Достаточно, как ни странно, того, что $f(0)=1$, $f(x)\to 0$, $x\to+\infty$.

Рассмотрите $g(x) = f(-\ln x)$, $x\in[0,1]$.

[Tumofeu]

Ну мы получим, что $-x\le f(-lnx)\le x$. При $0\le x$ слева будет ноль, т.е. $0\le g(x)\le x$. А как отсюда выйти на производную?

$\ln x$ (а также $\sin x$), кодируются так: \ln x, \sin x

[RIP]

Теорема Лагранжа о конечных приращениях.

[Tumofeu]

Т.е. нужно применять теорему Лагранжа для ф-и g(x) на отрезке [0;1]? Тогда получим $g'(x_0)=g(1)-g(0) => f'(e^{-x_0})=f(e^{-1})-f(1)$. Верно?

$ x \ge y$ (а также $a\le\sqrt{222}$), кодируются так: x \ge y, a \le \sqrt{222}.
Или это была типа стрелочка $\Rightarrow$?

[Хорхе]

Цитата:

$g'(x_0)=g(1)-g(0) => f'(e^{-x_0})=f(e^{-1})-f(1)$. Верно?

Неверно. Плохо у нас с дифференцированием сложных функций... К тому же, непонятно, откуда $f(e^{-1})-f(1)$ взялось.

[Tumofeu]

я перешел от функции g к функции f

[Хорхе]

Плохо перешел. $g(0) = f(?)$. Посмотрите на всякий случай определение $g$.

[Tumofeu]

Да, соврал.
$g(1)=f(-\ln 1)=f(0)=1$
$g(0)=f(-\ln 0)=f(\infty )=0$
Итого
$g(x_0)=f(-\ln {x_0})=1$

[Хорхе]

Tumofeu в сообщении #327203 писал(а):

Да, соврал.
$g(1)=f(-\ln 1)=f(0)=1$
$g(0)=f(-\ln 0)=f(\infty )=0$

Именно так.

Цитата:

Итого
$g(x_0)=f(-\ln {x_0})=1$

А это что такое?

[Tumofeu]

то есть?

[Хорхе]

Все вопросы решаются в топике. В личку только личные сообщения.

Давайте по-другому. Чему равна производная $g'(x)$?

[Tumofeu]

Наверное $g'(x_0)=g(1)-g(0)=1$

[Хорхе]

Это да, теорема Лагранжа. Но я просил другое -- выписать производную $g'(x) = (f(-\ln x))'$.

[Tumofeu]

аа ну тогда это сложная функция и получаем $g'(x)=-\frac {f'(x)} x =1 $, значит
$f'(x)=-x$

-- Чт июн 03, 2010 19:19:33 --

наверное я напутал с обозначениями, но смысл ясен

что дальше?