Доказать возрастание функции с интегралом

[Tumofeu]

Задача: Доказать, что функция $y=e^{x^2}\int_{0}^{x} e^{-t^2} dt$ является возрастающей.

Естественно нужно найти производную от этой функции и доказать что она всегда больше нуля. Преподаватель дала подсказку что здесь нужно использовать формулу дифференцирования интеграла по параметру ($\frac{dY(x)}{dx}=\int_{a}^{b}\frac{df(x,y)}{dx}dy$). Но нам же дан интеграл без параметра, т.е. фактически функция одного переменного.
Дифференцирование провожу по формуле дифференцирования произведения и получаю $y'=e^{x^2}(\int_{0}^{x} e^{-t^2} dt)' + 2xe^{x^2}\int_{0}^{x} e^{-t^2} dt . Все упирается в этот интеграл. Прошу помочь с ходом решения (а именно с дифференцированием интеграла) и указать на мои ошибки, если таковые имеются.

[ИСН]

Но это же бред. Смотрите, $e^{x^2}$ возрастает, тут сомнения нет. А интеграл? Интеграл от 0 до x от положительной функции? И он возрастает. Произведение двух возрастающих функций ведёт себя как? Разве не очевидно? Нужно ли брать производную, чтобы...
- - - - -
В условии ошибка, короче. Имелось в виду совсем другое.

[AKM]

Tumofeu в сообщении #326688 писал(а):

Преподаватель дала подсказку что здесь нужно использовать формулу дифференцирования интеграла по параметру

Плохая подсказка. Речь о дифференцировании интеграла по его верхнему пределу.

[Tumofeu]

Цитата:

Интеграл от 0 до x от положительной функции? И он возрастает.

Это свойство интеграла? Прост я не припомню такого.

Цитата:

Речь о дифференцировании интеграла по его верхнему пределу.

имеется ввиду:
Если f интегрируема на [a,b] и непрерывна в $x_0∈[a,b]$, то $F(x)=\int_a^xf(t)dt$ дифференцируема в $x_0$ и $F'(x_0)=f(x_0)$?

[ИСН]

Да, свойство. Да, это.

[Tumofeu]

Если преобразовывать выражение через дифференцирование по верхнему пределу, то все получается не очень хорошо: в одном слагаемом появляется множитель x, соответственно нужно будет доказывать, что и он, и интеграл одного знака.

Т.е. если в решении я напишу, что "$e^{x^2}$ возрастает, интеграл тоже возрастает (так как интеграл от положительной функции является возрастающим), и произведение двух возрастающих функции тоже дает возрастающую функцию, то функция y является возрастающей" - это будет верно?

[AKM]

Tumofeu в сообщении #326703 писал(а):

Цитата:

Интеграл от 0 до x от положительной функции? И он возрастает.

Это свойство интеграла? Прост я не припомню такого.

А такие штуки нельзя запоминать. Невозможно всю мелочёвку держать в одной голове.
Такие штуки очень легко думаются:
\setlength{\unitlength}{1mm} \begin{picture}(100,30) \put(0,0){\vector(1,0){100}} \put(0,0){\vector(0,1){30}} \put(98,2){$x$} \qbezier(0,20)(40,30)(100,10) \put(5,7){Вот $x$ растёт, и площадь под кривой (т.е. интеграл) растёт, растёт с ростом $x$...} \end{picture}

А всё потому, что функция неотрицательная.

-- Ср июн 02, 2010 13:00:36 --

Tumofeu в сообщении #326716 писал(а):

Т.е. если в решении я напишу, что "$e^{x^2}$ возрастает, интеграл тоже возрастает (так как интеграл от положительной функции является возрастающим), и произведение двух возрастающих функции тоже дает возрастающую функцию, то функция y является возрастающей" - это будет верно?

Почти. Ну прикиньте, порисуйте возрастающие функции, поумножайте их друг на друга.
Про отрицательные не забудьте (они ведь тоже могут возрастать, потом даже положительными стать). А если лень проверять отрицательные, то так и пишите:
произведение двух положительных возрастающих функций тоже дает возрастающую функцию.

[Tumofeu]

спасибо

[RIP]

ИСН в сообщении #326696 писал(а):

Смотрите, $e^{x^2}$ возрастает, тут сомнения нет.

У меня есть. Эта функция убывает при $x<0$, а функция в задании возрастает.

[ИСН]

Ой, не надо вот ко мне с этими мелочами, я разрабатываю стратегию ©.
(Ну да, да, но там зато интеграл отрицателен, так что.)

[RIP]

(Оффтоп)

AKM в сообщении #326700 писал(а):

Tumofeu в сообщении #326688 писал(а):

Преподаватель дала подсказку что здесь нужно использовать формулу дифференцирования интеграла по параметру

Плохая подсказка. Речь о дифференцировании интеграла по его верхнему пределу.

Ну, формула дифференцирования по верхнему пределу есть частный случай формулы дифференцирования интеграла с параметром, так что формально всё верно. Да и формулу эту знать полезно. Хотя да, здесь она лишняя.

-- Wed 02.06.2010 17:09:53 --

Tumofeu в сообщении #326716 писал(а):

Т.е. если в решении я напишу, что "$e^{x^2}$ возрастает, интеграл тоже возрастает (так как интеграл от положительной функции является возрастающим), и произведение двух возрастающих функции тоже дает возрастающую функцию, то функция y является возрастающей" - это будет верно?

Это будет неверно. Правильное решение --- посчитать производную и доказать, что она положительная (раз уж подразумевается такое решение). Хотя да, можно и без этого (тем более что функция нечётная).

[Tumofeu]

А то, что пределы интегрирования от 0 до х не значит, что левую полуплоскость можно не рассматривать, т.к. в таком случае нижний предел интегрирования будет больше верхнего?

[AKM]

Не значит. Функция $F(x)=\int_{0}^{x} e^{-t^2} dt$ отрицательна при $x<0$: $\displaystyle F(-5)=\int_{0}^{-5} e^{-t^2} dt=-\int_{-5}^{0} e^{-t^2} dt$.
Предлагаю довести до ума дифференцирование, мы вроде с деталями разобрались:

Tumofeu в сообщении #326688 писал(а):

Дифференцирование провожу по формуле дифференцирования произведения и получаю $y'=e^{x^2}(\int_{0}^{x} e^{-t^2} dt)' + 2xe^{x^2}\int_{0}^{x} e^{-t^2} dt.

Запишем формально производную и всё увидим.

[Tumofeu]

дифференцируя интеграл с переменным верхним пределом, получаем $y'=1+2xe^{x^2}\int_0^x e^{-t^2}dt$. Т.е. при $x>0$ получаем положительное значение интеграла, а при $x<0$ получаем отрицательное значение интеграла, но учитывая, что х тоже отрицательный, значение производной всегда положительное. Это и есть решение?

[RIP]

Да.