Обобщение теоремы Ролля

[tomsoier]

Доказать что если функция непрерывна и дифференцируема в замкнутом шаре, равна нулю на его границе, то одна из точек этого шара является критической.

Очевидно, что необходимо доказать что есть точка все частные производные которой равны 0. Все частные производные равны нулю в случае если производная функции в точке равна 0. Т.о. нужно доказать что такая точка найдётся.
Видимо нужно предположить что есть некая точка, являющаяся точкой локального максимума или локального минимума. По крайней мере так гласит лемма Ферма, но тогда нужно что-то делать с односторонними производными. Здесь функция от нескольких переменных, как быть в этом случае?

Помогите, пожалуйста.

[Хорхе]

Либо функция равна нулю тождественно, либо ее максимум или минимум отличен от нуля, не вижу проблемы.

[tomsoier]

Хорхе в сообщении #326494 писал(а):

Либо функция равна нулю тождественно, либо ее максимум или минимум отличен от нуля, не вижу проблемы.

второе очевидно или есть на что опереться?

[Хорхе]

Ну кагбе очевидно. Поелику ежели $\min f = \max f =0$, то сами понимаете, чему равна функция.

[paha]

а экстремум на компакте достигается

а дифференцируемая функция в точках экстремума (если они внутренние)...

[tomsoier]

Хорхе
если не знаете то незачем давать советы. Вот пример функции: y=x на [-1;1]. Она непрерывна и дифференцируема но на интервале не имеет ни минимума ни максимума.

Моя задача избавиться от того что производная функции на границе шара может быть равна 0, а это преподавателя не устраивает ни коим боком.

[ewert]

tomsoier в сообщении #326902 писал(а):

Моя задача избавиться от того что производная функции на границе шара может быть равна 0,

И совершенно напрасно. Производная на границе вовсе не определена, да и к делу это отношения не имеет. А Хорхе обыкновенно если чего и говорит -- то знает чего.

[paha]

tomsoier в сообщении #326902 писал(а):

Хорхе
если не знаете то незачем давать советы. Вот пример функции: y=x на [-1;1].

предъявленная функция ненулевая на границе

[tomsoier]

paha в сообщении #326949 писал(а):

tomsoier в сообщении #326902 писал(а):

Хорхе
если не знаете то незачем давать советы. Вот пример функции: y=x на [-1;1].

предъявленная функция ненулевая на границе

нет, это был контрпример что для наличия экстремума функции достаточно быть непрерывной и дифференцируемой.

[Хорхе]

tomsoier в сообщении #326966 писал(а):

нет, это был контрпример что для наличия экстремума функции достаточно быть непрерывной и дифференцируемой.

В каком месте я такое писал, любезнейший?

А относительно того, что я кое-то знаю, у меня даже справка от доктора есть, так что попрошу оставить вот эти менторские замашки!