Новые вопросы о старушке в самолёте

[Профессор Снэйп]

Очень странно, но, забив штук 10-15 различных запросов в поиске, так и не нашёл задачу про бабку в самолёте. Между тем задача очень известная и почему-то мне казалось, что на dxdy тема с ней обязана присутствовать. Ну да ладно, напомню условие.

В салоне самолёта $N$ кресел, на которые куплено $N$ билетов. Происходит посадка в самолёт. Первой в салон заходит невменяемая бабка, которая садится на произвольное приглянувшееся ей кресло (номер которого никак не связан с номером её билета). После бабки заходят более вменяемые пассажиры; каждый из них садится на своё место, если оно оказывается свободным, и на любое понравившееся из свободных, если своё занято.

В классической задаче требуется найти вероятность того, что последний из зашедших в салон самолёта пассажиров сядет на своё место. Как указано на многих интернет-ресурсах, искомая вероятность равна $1/2$. Стало интересно, на какие другие вопросы, относящиеся к этой задаче, можно ответить достаточно простым способом. Например, можно ли найти

1) Вероятность того, что $k$-ый пассажир сядет на своё место для каждого $k$ от $1$ до $N$.

2) Вероятность того, что ровно $m$ пассажиров сядут на чужие места для $m \in \{ 0 \} \cup \{ 2, \ldots, N \}$.

3) Вероятность того, что после посадки в самолёт $s$ человек место с номером $k$ будет занято ($k=1$ или $1 \leqslant s < k$, считаем, что пассажиры заходят в самолёт в порядке возрастания номеров мест в их билетах).

И тому подобные вопросы...

[gris]

(Оффтоп)

С бабкой неинтересно решать. Была бы очаровательная самоуверенная блондинка, причём $\nu$. Вопрос: сколько пассажиров утратят свою вменяемость?

[Профессор Снэйп]

Тьфу на Вас, я про математику, а Вы мне про баню...

Всю ночь проморочился с этой старушкой и ни одного нормального ответа не смог получить. Сноровки не хватает. Хотя, подозреваю, они там вообще невозможны.

Впрочем... вот такая модификация задачи. Допустим, что невменяемых старушек двое: бабушка с билетом на место $\No~1$ и дедушка с билетом на место $\No~2$. Какова в этом случае вероятность того, что последний пассажир усядется на указанное у него в билете место?

[venco]

Профессор Снэйп в сообщении #326161 писал(а):

1) Вероятность того, что $k$-ый пассажир сядет на своё место для каждого $k$ от $1$ до $N$.

$p_1=\frac 1 n$ (бабка)
$p_k=\frac {n-k+1}{n-k+2}, k>1$ (нормальные пассажиры)

[cyb12]

Профессор Снэйп в сообщении #326161 писал(а):

Между тем задача очень известная и почему-то мне казалось, что на dxdy тема с ней обязана присутствовать.

Присутствует в таком виде : http://dxdy.ru/topic9554.html

[venco]

Профессор Снэйп в сообщении #326161 писал(а):

2) Вероятность того, что ровно $m$ пассажиров сядут на чужие места для $m \in \{ 0 \} \cup \{ 2, \ldots, N \}$.

$p_0=\frac 1 n$
$p_2=\frac 1 n\sum\limits_{i=1}^{n-1}\frac 1 i$
$p_n=\frac 1{n!}$

[ewert]

cyb12 в сообщении #326379 писал(а):

Присутствует в таком виде : http://dxdy.ru/topic9554.html

И даже в чем-то в таком: http://dxdy.ru/topic33262.html

[Профессор Снэйп]

Вот здесь я задачу когда-то решал. В той же теме на последней странице заодно и расписал, почему

venco в сообщении #326381 писал(а):

$p_0=\frac 1 n$
$p_2=\frac 1 n\sum\limits_{i=1}^{n-1}\frac 1 i$
$p_n=\frac 1{n!}$

(кстати, раньше, чем venco

А вот это:

venco в сообщении #326352 писал(а):

$p_k=\frac {n-k+1}{n-k+2}, k>1$ (нормальные пассажиры)

я не понимаю почему. Более того, сомневаюсь, что это вообще верно. Обоснуйте формулу, пожалуйста.

[DmitriyMB]

Профессор Снэйп в сообщении #326272 писал(а):

Тьфу на Вас, я про математику, а Вы мне про баню...

Всю ночь проморочился с этой старушкой и ни одного нормального ответа не смог получить. Сноровки не хватает. Хотя, подозреваю, они там вообще невозможны.

Впрочем... вот такая модификация задачи. Допустим, что невменяемых старушек двое: бабушка с билетом на место $\No~1$ и дедушка с билетом на место $\No~2$. Какова в этом случае вероятность того, что последний пассажир усядется на указанное у него в билете место?

1/3.Рассуждения просты до неприличия:раз в задаче ничего не сказано про количество мест,значит оно не имеет значения,поэтому рассмотрим самое удобное количество мест-3 штуки, и сразу видно вероятность правильной усадки пассажира

[venco]

Профессор Снэйп в сообщении #326401 писал(а):

venco в сообщении #326352 писал(а):

$p_k=\frac {n-k+1}{n-k+2}, k>1$ (нормальные пассажиры)

я не понимаю почему. Более того, сомневаюсь, что это вообще верно. Обоснуйте формулу, пожалуйста.

По индукции.
Я рассматривал на шаге $k$ две ситуации: $S(k,+)$ - множество свободных мест и оставшихся пассажиров совпадают, и $S(k,-)$ - множества различаются одним элементом.
Вероятности этих ситуацих при занятых $k$ местах:
$p(k,+)=\frac 1 {n-k+1}$
$p(k,-)=\frac {n-k} {n-k+1}$
что можно доказать по индукции:
Когда садится $k$-тый пассажир, то из состояния $S(k-1,+)$ всегда получается состояние $S(k,+)$, а из состояния $S(k-1,-)$ могут получиться состояния $S(k,+)$ и $S(k,-)$, если пришёл пассажир, чьё место как раз занято, и $S(k,-)$, если место свободно.
Складывая, получаем доказательства формул вероятности состояний.
А складывая по другому - вероятность того, что $k$-тый пассажир сядет на своё место.

-- Вт июн 01, 2010 11:34:54 --

DmitriyMB в сообщении #326408 писал(а):

в задаче ничего не сказано про количество мест

Утверждение неверно.

[venco]

Но результат, тем не менее, верен.
Вероятность сесть на своё место у $k$-ого пассажира для случая деда с бабкой:
$p_k=\frac {n-k+1}{n-k+3}, k > 2$