2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Новые вопросы о старушке в самолёте
Сообщение01.06.2010, 05:06 
Аватара пользователя
Очень странно, но, забив штук 10-15 различных запросов в поиске, так и не нашёл задачу про бабку в самолёте. Между тем задача очень известная и почему-то мне казалось, что на dxdy тема с ней обязана присутствовать. Ну да ладно, напомню условие.

В салоне самолёта $N$ кресел, на которые куплено $N$ билетов. Происходит посадка в самолёт. Первой в салон заходит невменяемая бабка, которая садится на произвольное приглянувшееся ей кресло (номер которого никак не связан с номером её билета). После бабки заходят более вменяемые пассажиры; каждый из них садится на своё место, если оно оказывается свободным, и на любое понравившееся из свободных, если своё занято.

В классической задаче требуется найти вероятность того, что последний из зашедших в салон самолёта пассажиров сядет на своё место. Как указано на многих интернет-ресурсах, искомая вероятность равна $1/2$. Стало интересно, на какие другие вопросы, относящиеся к этой задаче, можно ответить достаточно простым способом. Например, можно ли найти

1) Вероятность того, что $k$-ый пассажир сядет на своё место для каждого $k$ от $1$ до $N$.

2) Вероятность того, что ровно $m$ пассажиров сядут на чужие места для $m \in \{ 0 \} \cup \{ 2, \ldots, N \}$.

3) Вероятность того, что после посадки в самолёт $s$ человек место с номером $k$ будет занято ($k=1$ или $1 \leqslant s < k$, считаем, что пассажиры заходят в самолёт в порядке возрастания номеров мест в их билетах).

И тому подобные вопросы...

 
 
 
 Re: Новые вопросы о старушке в самолёте
Сообщение01.06.2010, 10:33 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

С бабкой неинтересно решать. Была бы очаровательная самоуверенная блондинка, причём $\nu$. Вопрос: сколько пассажиров утратят свою вменяемость?

 
 
 
 Re: Новые вопросы о старушке в самолёте
Сообщение01.06.2010, 13:46 
Аватара пользователя
Тьфу на Вас, я про математику, а Вы мне про баню...

Всю ночь проморочился с этой старушкой и ни одного нормального ответа не смог получить. Сноровки не хватает. Хотя, подозреваю, они там вообще невозможны.

Впрочем... вот такая модификация задачи. Допустим, что невменяемых старушек двое: бабушка с билетом на место $\No~1$ и дедушка с билетом на место $\No~2$. Какова в этом случае вероятность того, что последний пассажир усядется на указанное у него в билете место?

 
 
 
 Re: Новые вопросы о старушке в самолёте
Сообщение01.06.2010, 16:14 
Профессор Снэйп в сообщении #326161 писал(а):
1) Вероятность того, что $k$-ый пассажир сядет на своё место для каждого $k$ от $1$ до $N$.
$p_1=\frac 1 n$ (бабка)
$p_k=\frac {n-k+1}{n-k+2}, k>1$ (нормальные пассажиры)

 
 
 
 Re: Новые вопросы о старушке в самолёте
Сообщение01.06.2010, 17:36 
Профессор Снэйп в сообщении #326161 писал(а):
Между тем задача очень известная и почему-то мне казалось, что на dxdy тема с ней обязана присутствовать.


Присутствует в таком виде : http://dxdy.ru/topic9554.html

 
 
 
 Re: Новые вопросы о старушке в самолёте
Сообщение01.06.2010, 17:40 
Профессор Снэйп в сообщении #326161 писал(а):
2) Вероятность того, что ровно $m$ пассажиров сядут на чужие места для $m \in \{ 0 \} \cup \{ 2, \ldots, N \}$.
$p_0=\frac 1 n$
$p_2=\frac 1 n\sum\limits_{i=1}^{n-1}\frac 1 i$
$p_n=\frac 1{n!}$

 
 
 
 Re: Новые вопросы о старушке в самолёте
Сообщение01.06.2010, 17:54 
cyb12 в сообщении #326379 писал(а):
Присутствует в таком виде : http://dxdy.ru/topic9554.html

И даже в чем-то в таком: http://dxdy.ru/topic33262.html

 
 
 
 Re: Новые вопросы о старушке в самолёте
Сообщение01.06.2010, 18:13 
Аватара пользователя
Вот здесь я задачу когда-то решал. В той же теме на последней странице заодно и расписал, почему

venco в сообщении #326381 писал(а):
$p_0=\frac 1 n$
$p_2=\frac 1 n\sum\limits_{i=1}^{n-1}\frac 1 i$
$p_n=\frac 1{n!}$

(кстати, раньше, чем venco :-)

А вот это:

venco в сообщении #326352 писал(а):
$p_k=\frac {n-k+1}{n-k+2}, k>1$ (нормальные пассажиры)

я не понимаю почему. Более того, сомневаюсь, что это вообще верно. Обоснуйте формулу, пожалуйста.

 
 
 
 Re: Новые вопросы о старушке в самолёте
Сообщение01.06.2010, 18:20 
Профессор Снэйп в сообщении #326272 писал(а):
Тьфу на Вас, я про математику, а Вы мне про баню...

Всю ночь проморочился с этой старушкой и ни одного нормального ответа не смог получить. Сноровки не хватает. Хотя, подозреваю, они там вообще невозможны.

Впрочем... вот такая модификация задачи. Допустим, что невменяемых старушек двое: бабушка с билетом на место $\No~1$ и дедушка с билетом на место $\No~2$. Какова в этом случае вероятность того, что последний пассажир усядется на указанное у него в билете место?
1/3.Рассуждения просты до неприличия:раз в задаче ничего не сказано про количество мест,значит оно не имеет значения,поэтому рассмотрим самое удобное количество мест-3 штуки, и сразу видно вероятность правильной усадки пассажира

 
 
 
 Re: Новые вопросы о старушке в самолёте
Сообщение01.06.2010, 18:32 
Профессор Снэйп в сообщении #326401 писал(а):
venco в сообщении #326352 писал(а):
$p_k=\frac {n-k+1}{n-k+2}, k>1$ (нормальные пассажиры)

я не понимаю почему. Более того, сомневаюсь, что это вообще верно. Обоснуйте формулу, пожалуйста.
По индукции.
Я рассматривал на шаге $k$ две ситуации: $S(k,+)$ - множество свободных мест и оставшихся пассажиров совпадают, и $S(k,-)$ - множества различаются одним элементом.
Вероятности этих ситуацих при занятых $k$ местах:
$p(k,+)=\frac 1 {n-k+1}$
$p(k,-)=\frac {n-k} {n-k+1}$
что можно доказать по индукции:
Когда садится $k$-тый пассажир, то из состояния $S(k-1,+)$ всегда получается состояние $S(k,+)$, а из состояния $S(k-1,-)$ могут получиться состояния $S(k,+)$ и $S(k,-)$, если пришёл пассажир, чьё место как раз занято, и $S(k,-)$, если место свободно.
Складывая, получаем доказательства формул вероятности состояний.
А складывая по другому - вероятность того, что $k$-тый пассажир сядет на своё место.

-- Вт июн 01, 2010 11:34:54 --

DmitriyMB в сообщении #326408 писал(а):
в задаче ничего не сказано про количество мест
Утверждение неверно.

 
 
 
 Re: Новые вопросы о старушке в самолёте
Сообщение01.06.2010, 22:27 
Но результат, тем не менее, верен.
Вероятность сесть на своё место у $k$-ого пассажира для случая деда с бабкой:
$p_k=\frac {n-k+1}{n-k+3}, k > 2$

 
 
 [ Сообщений: 11 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group