задача на подстановку (корень заданной степени)

[whtfng]

Дана подстановка:
a = $ \left( \begin{array}{rrrrrrrrrrrr} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12\\ 4 & 8 & 6 & 7 & 10 & 12 & 1 & 9 & 2 & 11 & 5 & 3\\ \end{array} \right) $

надо найти все такие $i$ ∈{2,3,5,7} , что из данной подстановки извлекается корень $i$-й степени, т.е. существует подстановка $b$ такая, что
$ b^i = a $
Может кто-нибудь подсказать с чего вообще можно начать? Перерыл все учебники по алгебре и комбинаторике, но там и близко нет подобных заданий.

[vvvv]

Используйте то свойство, что период данной подставновки равен 3

[Профессор Снэйп]

Разложите подстановку в произведение независимых циклов.

[whtfng]

В произведение независимых циклов разложить легко, получаем:
$(1 4 7)(2 8 9)(3 6 12)(5 10 11)$
Период равен 3, таким образом в кубе эта перестановка равна тождественной, ок, тоже ясно.
Теперь, чтобы корень из $a$ всех указанных целых извлекается и равен самому $a$, степень должна быть кратна 3.
т.е. $i=k$ для всех $k=1,2,3..$ или $i=3^k+1$??? непонятно)

[vvvv]

Вы не поняли условие задачи.Причем здес k?
Из заданного конечного множетва нужно выбрать те числа, которые удовлетворяют условию задачи и конечно показать, что именно
эти числа удовлетворяют поставленным условиям

[whtfng]

В общем-то задачу понял. надо найти все такие $ i \in\ ${2,3,5,7} , что из данной подстановки извлекается корень $i$-й степени, т.е.
$\sqrt[i]{a}=a$ --> $a=a^i$
т.к. период подстановки =3, то $i=2^k+1$, $k\in\mathbb{N}$
$a=a^4=a^7=...$
Для данного множества $ i \in\ ${2,3,5,7} подходит лишь одно значение $i=7$

Похоже так? )

[vvvv]

Где Ваше b? Вот найдите b и затем из заданного вам множества выберите такие числа, что возведя b в степень
равную этим числам получите а.Вы же опять -k
Множество i у вас же конечное. Состоит из четырех элементов.

[whtfng]

Хм, правильно ли я понимаю, что корень из перестановки $a=(1 4 7)(2 8 9)(3 6 12)(5 10 11)$ находится переставлением 1->7; 4->1; 7->4 и т.д ???, таким образом:

$\sqrt{a}=(471)(892)(6 12 3)(10 11 5)$
$\sqrt[3]{a}=(714)(928)(12 3 6)(11 5 10)$
$\sqrt[4]{a}=a$
$\sqrt[5]{a}=\sqrt{a}$
$\sqrt[6]{a}=\sqrt[3]{a}$
$\sqrt[7]{a}=a$

Сл-но $b^i=a -> b=\sqrt[i]{a}$ и для выполнения условия $i\in${2,3,5,7} $i$ должно быть равным 7.

[Sonic86]

whtfng писал(а):

Хм, правильно ли я понимаю, что корень из перестановки $a=(1 \ 4 \ 7)(2 \ 8 \ 9)(3 \ 6 \ 12)(5 \ 10 \ 11)$ находится переставлением 1->7; 4->1; 7->4 и т.д ???

По-моему, нет, цикл $(147)$ совпадает с циклом $(4 71)$.

Вы попробуйте не догадываться, а явно, целиком и полность. понять. Дано $a$, надо найти $b: b^i=a$. $a$ разложена в произведение циклов, поэтому удобно $b$ тоже представить в виде произведения циклов. Далее, если мы возьмем цикл длины $m$ и возведем его в степень $i$, то у нас получится $r$ циклов (угадайте, чему равно $r$) длины $\frac{m}{r}$.
Попробуйте продолжить и решить уравнение.

[vvvv]

Ладно. b равно а в квадрате. Из заданного множества
нужно выбрать такие числа n, что 2*n при делении на три дает
остаток один!Кто не верит-пусть проверит

[VAL]

whtfng в сообщении #326118 писал(а):

Дана подстановка:
a = $ \left( \begin{array}{rrrrrrrrrrrr} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12\\ 4 & 8 & 6 & 7 & 10 & 12 & 1 & 9 & 2 & 11 & 5 & 3\\ \end{array} \right) $

надо найти все такие $i$ ∈{2,3,5,7} , что из данной подстановки извлекается корень $i$-й степени, т.е. существует подстановка $b$ такая, что
$ b^i = a $
Может кто-нибудь подсказать с чего вообще можно начать? Перерыл все учебники по алгебре и комбинаторике, но там и близко нет подобных заданий.

Хотя в условии и не требуют находить сами подстановки b, приведу пример такой подстановки. Возможно тогда задание станет понятнее.
Например, что получится, если возвести в квадрат подстановку $b =(1 \ 2 \ 4 \ 8 \ 7 \ 9)(3 \ 5 \ 6 \ 10 \ 12 \ 11)$?

[whtfng]

Цитата:

что получится, если возвести в квадрат подстановку $b =(1 \ 2 \ 4 \ 8 \ 7 \ 9)(3 \ 5 \ 6 \ 10 \ 12 \ 11)$?

Пожалуйста:
$ b=\left(\begin{array}{rrrrrrrrrrrr}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12\\2 & 4 & 5 & 8 & 6 & 10 & 9 & 7 & 1 & 12 & 3 &11\\\end{array}\right) $
$ b^2=\left(\begin{array}{rrrrrrrrrrrr}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12\\4 & 8 & 6 & 7 & 10 & 12 & 1 & 9 & 2 & 11 & 5 & 3\\\end{array}\right) $
т.е. $b^2=a$

Правда понятнее от этого не стало)

[Sonic86]

whtfng писал(а):

Правда понятнее от этого не стало)

Может быть все-таки попробуйте продолжить рассуждения? Задача легкая, но рассуждать придется много. Попробуйте пример попроще решить, например $x^2 = (1 \ 4 \ 7)$ ($(1 \ 4 \ 7)$ - это подстановка из одного независимого цикла).

Ну или, наконец, возьмите различные подстановки и повозводите их в квадрат, в куб, штук 5-10 - и Вы увидите закономерности, они простые, Вы их должны сами увидеть.

-- Чт июн 03, 2010 08:19:09 --

И вообще, Вы когда подстановку VALа в квадрат возводили - Вы ее запишите в виде независимых циклов и ответ представьте именно в виде независимых циклов, а потом посмотрите примерно минуты 3 на исходную подстановку и ответ и Вы все увидите

[VAL]

whtfng в сообщении #327045 писал(а):

Цитата:

что получится, если возвести в квадрат подстановку $b =(1 \ 2 \ 4 \ 8 \ 7 \ 9)(3 \ 5 \ 6 \ 10 \ 12 \ 11)$?

Пожалуйста:
$ b=\left(\begin{array}{rrrrrrrrrrrr}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12\\2 & 4 & 5 & 8 & 6 & 10 & 9 & 7 & 1 & 12 & 3 &11\\\end{array}\right) $
$ b^2=\left(\begin{array}{rrrrrrrrrrrr}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12\\4 & 8 & 6 & 7 & 10 & 12 & 1 & 9 & 2 & 11 & 5 & 3\\\end{array}\right) $
т.е. $b^2=a$

Правда понятнее от этого не стало)

Ну тогда возведите ту же самую подстановку b в пятую степень.
Но, ради Бога, проделайте это в цикловом виде! Вам же все хором тут об этом твердят. Думаете, специально запутывают?

[asazello]

Sonic86 в сообщении #326646 писал(а):

Дано $a$, надо найти $b: b^i=a$. $a$ разложена в произведение циклов, поэтому удобно $b$ тоже представить в виде произведения циклов. Далее, если мы возьмем цикл длины $m$ и возведем его в степень $i$, то у нас получится $r$ циклов (угадайте, чему равно $r$) длины $\frac{m}{r}$.
Попробуйте продолжить и решить уравнение.

Возьмем подстановку
(1 4 7 5)(2 8 9 10)(3 6)(11 12)
Возведем в куб: (1 5 7 4)(2 10 9 8)(3 6)(11 12)
То есть на самом деле кол-во независимых циклов не изменилось?! Оно меняется так как описано выше Sonic86 если возводить в четную степень. Или я не права?