Предельный переход (теорема Муавра-Лапласа)

[ILYA_First]

Всем доброго времени суток!
У меня возникла следующая проблема. Мне нужно доказать:
$\mathbb{B}(k,N,p) \sim \Phi (\frac{Np - k}{\sqrt{Np(1-p)}})$, где $\Phi (x)$ - нормальное стандартное распределение, а $\mathbb{B}(k,N,p) = \sum\limits_{i=k}^{N} C_N^i p^k (1-p)^{N-k}$.
Я пытаюсь сделать это с помощью предельной теоремы Муавра-Лапласа. Но сама теорема имеет немного другой вид (чем представлена в формуле). Какие преобразования можно сделать, что бы получить, то, что мне нужно?

P.S. Теорвера еще не было. Поэтому то не получается

[Viktor_2]

ILYA_First в сообщении #325823 писал(а):

Всем доброго времени суток!
У меня возникла следующая проблема. Мне нужно доказать:
$\mathbb{B}(k,N,p) \sim \Phi (\frac{Np - k}{\sqrt{Np(1-p)}})$, где $\Phi (x)$ - нормальное стандартное распределение, а $\mathbb{B}(k,N,p) = \sum\limits_{i=k}^{N} C_N^i p^k (1-p)^{N-k}$.
Я пытаюсь сделать это с помощью предельной теоремы Муавра-Лапласа. Но сама теорема имеет немного другой вид (чем представлена в формуле). Какие преобразования можно сделать, что бы получить, то, что мне нужно?

P.S. Теорвера еще не было. Поэтому то не получается

Биномиальное распределение можно аппроксимировать нормальным только при соблюдении определенных условий, которые, как и док-во, содержатся, например, в соотв. wiki-статье

[--mS--]

ILYA_First в сообщении #325823 писал(а):

Я пытаюсь сделать это с помощью предельной теоремы Муавра-Лапласа. Но сама теорема имеет немного другой вид (чем представлена в формуле). Какие преобразования можно сделать, что бы получить, то, что мне нужно?

Если с помощью интегральной теоремы Муавра - Лапласа, то вид почти такой же. Вычтите из единицы обе части, слева получится вероятность биномиальной случайной величине быть меньше $k$ (т.е. сумма до $k-1$), справа используйте свойство функции распределения стандартного нормального закона $1-\Phi(x)=\Phi(-x)$.

На самом деле не очень понятно, что именно Вы хотите доказать. Поясните два момента: какой смысл придаётся значку $\sim$ в формуле и теоремой Муавра - Лапласа в каком виде Вы пользуетесь.

[ILYA_First]

--mS-- в сообщении #325844 писал(а):

На самом деле не очень понятно, что именно Вы хотите доказать. Поясните два момента: какой смысл придаётся значку $\sim$ в формуле и теоремой Муавра - Лапласа в каком виде Вы пользуетесь.

У меня на самом деле величина $N = [\frac{T}{\Delta}]$ и $\Delta \to 0$. И мне нужно от дискретной модели перейти к непрерывной (это всего лишь одна часть, просто в остальном там я еще могу разобраться так как используется обычные пределы). А знак $\sim $ я использую в том смысле, что при бесконечно малых $\Delta$ разность между значением биномиального распределения и нормального распределения будет достаточно малым.
Ого, как написал..вполне возможно бред

[Viktor_2]

Цитата:

(...) какой смысл придаётся значку $\sim$ в формуле (...)

значок $\sim$ в формулах мат. статистики как правило обозначает "распределено согласно"

[--mS--]

ILYA_First в сообщении #325901 писал(а):

У меня на самом деле величина $N = [\frac{T}{\Delta}]$ и $\Delta \to 0$. И мне нужно от дискретной модели перейти к непрерывной (это всего лишь одна часть, просто в остальном там я еще могу разобраться так как используется обычные пределы). А знак $\sim $ я использую в том смысле, что при бесконечно малых $\Delta$ разность между значением биномиального распределения и нормального распределения будет достаточно малым.

Понятно. В таком случае просто воспользуйтесь советом выше. Обычно знак асимптотической эквивалентности означает нечто иное, отчего я и решила уточнить.

(Оффтоп)

2Viktor_2: Вы не чувствуете, что оба раза - мимо? Это дурной симптом.

[ILYA_First]

А что он обозначает?

Viktor_2 в сообщении #325950 писал(а):

Цитата:

(...) какой смысл придаётся значку $\sim$ в формуле (...)

значок $\sim$ в формулах мат. статистики как правило обозначает "распределено
согласно"

Вы это имели в виду?

--mS-- в сообщении #325997 писал(а):

Понятно. В таком случае просто воспользуйтесь советом выше.

Я правильно понимаю, что интегральная теорема М.-Л. - это там, вероятность где стремиться к разности $\Phi (a) - \Phi (b)$?
Или Вы говорили об локальной теореме?wiki-статья

[--mS--]

ILYA_First в сообщении #326010 писал(а):

А что он обозначает?

$a_n \sim b_n$ при $n\to\infty$ означает, что $\dfrac{a_n}{b_n} \to 1$.

ILYA_First в сообщении #326010 писал(а):

Я правильно понимаю, что интегральная теорема М.-Л. - это там, вероятность где стремиться к разности $\Phi (a) - \Phi (b)$?

Вам виднее, какую теорему Вы хотели использовать :) Но уж явно не локальную. Если в таком виде, то вообще не вижу затруднений. Воспользуйтесь советом выше.

[ILYA_First]

Да, все получилось!)
Всем громное спасибо!!!