Теорема Лиувилля (гармонические функции)

[ShMaxG]

Утверждение: Пусть $u$ - гармоническая функция на всей плоскости, ограниченная. Тогда она - константа.

Доказательство. Так как $u$ - гармоническая в односвязной области, то существует регулярная функция $\[f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}\]$, такая, что $\[\operatorname{Re} f = u\left( {x,y} \right)\] $. Т.е. функция $f$ - целая. Так как $u(x,y)$ - ограниченная, то и мнимая часть $f$ - ограничена, поэтому $f$ - ограничена. Следовательно, $f$ - константа. Следовательно, $u$ - константа.

Так ли это? Не могу доказать (или опровергнуть) выделенное жирным в док-ве. Как-то это не очевидно. Мнимая часть выражается через действительную через интеграл второго рода и не ясно, ограничен он или нет.

[maxmatem]

Может вам поможет другая формулировка данной теоремы:
Теорема (Лиувилля).
Целая функция, отличная от константы, не может быть ограничена во всей комплексной плоскости.

[ShMaxG]

От противного? Пусть $f$ не константа. Значит она не ограничена, сл-но ее мнимая часть не ограничена. Здесь надо придти к противоречию. Но проблема пока осталась...

[id]

Посмотрите Введение в комплексный анализ Шабата.
Там проблема решается тем, что находитя дробно-линейное отображение $\lambda$, отображающей $\{Re y < M\}$ на единичный круг, т.о. композиция $\lambda \circ f$ будет ограниченой целой функций.

[maxmatem]

если целая функция $\[f(z)\]$ ограничена, значит $\[ \exists M:\forall z \in \mathbb{C} \Rightarrow |f(z)| \leqslant M \]$, но в силу неравенств Коши для коэффициентов ее степенного разложения $\[ f(z) = \sum\limits_{k = 0}^\infty {a_k z^k } \]$, где $\[ \,a_k = \frac{1} {{2\pi i}}\oint\limits_{C_\rho } {\frac{{f(t)}} {{(t - z_0 )^{k + 1} }}} dt \]$ и $\[ C_\rho = \{ t:|t - z_0 | = \rho \} \]$. Обозначим через $\[ M(\rho ) = \max _{|z - z_0 | = \rho } |f(z)|,\,\,\, \] $, тогда имеем, что $\[ |a_k | \leqslant \frac{{M(\rho )}} {{\rho ^k }} \]$.
Для всякого $\[ \rho < \infty \]$ имеем $\[ \,0 \leqslant |a_k | \leqslant \frac{{M(\rho )}} {{\rho ^k }} \to 0;\rho \to \infty \]$ но тогда $\[ a_k = 0 \] $ и наконец $\[ f(z) = \sum\limits_{k = 0}^\infty {a_k z^k = a_0 = \operatorname{co} nst} \] $
что и требовалось

[Padawan]

ShMaxG
Так это и в $\mathbb R^n$ верно. Воспользуйтесь формулой Пуассона. Оцените разность $P_{r,R}(\theta)-P_{0,R}(\theta)$ при фиксированном $r$ и $R\to+\infty$. $P_{r,R}$ -- ядро Пуассона для шара (круга) радиуса $R$ в точке $|x|=r$.

Например, при $n=2$ будет $P_{r,R}(\theta)-P_{0,R}(\theta)=\dfrac{1}{2\pi}\dfrac{R^2-r^2}{R^2+r^2-2rR\cos\theta}-\dfrac{1}{2\pi}\approx\ldots$

[ShMaxG]

maxmatem
Ну если $f$ - ограничена, то она константа. Это-то как раз понятно. Вот почему она ограничена - не совсем ясно.

Padawan
Так, ну оценка для $n=2$ такая: $\[{P_{r,R}}\left( \theta \right) - {P_{0,R}}\left( \theta \right) \approx \frac{1} {\pi }\frac{r} {R}\cos \theta \] $

Тогда $\[\left| {w_r^'} \right| \leqslant \int\limits_0^{2\pi } {\left| {\frac{1} {{\pi R}}\cos \left( {\varphi - u} \right){w_0}\left( u \right)} \right|du} \leqslant M \cdot 0 = 0\]$.

Значит от $r$ не зависит. А почему от $\varphi$ не зависит?

-- Пн май 31, 2010 21:04:23 --

А, ну от фи не зависит, потому что - гармоническая. Во как. Здорово, спасибо.

[Padawan]

ShMaxG
Просто последний интеграл надо оценить как $\leqslant 2\pi\cdot\frac{1}{\pi R}\cdot M\to 0$ при $R\to\infty$. Уверен, что это доказательство для любого $n$ пройдет. Там интегрирование по единичной сфере будет.

А при $n=2$ стандартный прием свдения гармонического случая к аналитическому -- это рассмотрение функции $f=e^{u+iv}$. Она целая и ограниченная ($|f|=e^u$). Значит константа. Но тогда и $u$ -- константа.

[ShMaxG]

Супер!

-- Пн май 31, 2010 21:33:42 --

А какое ядро Пуассона в пространстве $\[{\mathbb{R}^n}\]$?

[Padawan]

ShMaxG
В Тихонове-Самарском посмотрите :) Я не помню.