Поток векторного поля

[leno4ek-106]

Вычислить поток векторного поля F через внешнюю поверхность пирамиды, образованной плоскостью P и координатными плоскостями двумя способами:
а) использовав определение потока;
б) с помощью формулы Остроградского-Гаусса.
$F=(3x-1)\overline{i} + (-x+y+z)\overline{j} + 4z\overline{k}$
$P: 2x-y-2z=2$
а) $z=x- \frac y 2-1$
$z'_x=1$
$z'_y=-\frac 1 2$
$a_x=3x-1$
$a_y=z-x+y=x-\frac y 2-1-x+y=\frac y 2-1$
$a_z=4z=4x-2y-4$
$a_x(-z'_x)+a_y(-z'_y)+a_z=3x-1-\frac y 4+\frac 12+4x-2y-4=7x-\frac {9y} 4-\frac 9 2$
$0\leqslant x\leqslant 1$
$0\leqslant y\leqslant 2x-2$
$G=\int_{0}^{1} dx$$ и $$\int\limits_{0}^{2x-2} (7x-\frac {9y} 4-\frac 9 2) dy=\int_{0}^{1} dx$$ (7xy-\frac {9y^2} 8-\frac {9y} 2)|_{0}^{2x-2}$
$G=\int_{0}^{1} dx$$ (\frac {19} 2 x^2-14x+\frac 9 2)=(\frac {19x^3} {6}-7x^2+\frac {9x} 2)|_{0}^{1}=\mathbf{\frac 2 3}$
б) $P=3x-1 \Longrightarrow\frac {dP} {dx}=3$
$Q=z-x+y \Longrightarrow\frac {dQ} {dy}=1$
$R=4z \Longrightarrow\frac {dR} {dz}=4$
$0\leqslant x\leqslant 1$
$0\leqslant y\leqslant 2x-2$
$0\leqslant z\leqslant x-\frac y 2-1$
$G=8\int_{0}^{1} dx и \int\limits_{0}^{2x-2} dy$$ и $$\int\limits_{0}^{x-\frac y 2-1} dz=8\int_{0}^{1} dx \int\limits_{0}^{2x-2} (x-\frac y 2-1) dy=8\int_{0}^{1} dx (xy-\frac {y^2}4 -y)|_{0}^{2x-2}=8\int_{0}^{1} (x^2-2x+1)dx=8(\frac {x^3} 3-x^2+x)|_{0}^{1}=\mathbf{\frac 8 3}
Вот, получаются разные числа в ответах, подскажите где что неправильно написано, либо посчитано.

[lel0lel]

Во втором случае вы вычислили поток через полную поверхность пирамиды, а в первом случае только через основание пирамиды. И когда дивергенцию рассчитываете, нужно писать частные производные.

[leno4ek-106]

lel0lel в сообщении #325783 писал(а):

Во втором случае вы вычислили поток через полную поверхность пирамиды, а в первом случае только через основание пирамиды. И когда дивергенцию рассчитываете, нужно писать частные производные.

Ну да, там и есть частные, просто символ такой не нашла. А как же тогда вычислить через внешнюю?Что измениться?

[lel0lel]

Для начала нарисуйте эту пирамиду в координатной системе. При расчёте нужно быть аккуратнее, выбирая внешнюю нормаль к поверхности. И следить за пределами интегрирования.
Здесь, например, выбрана внутренняя нормаль, но неправильный порядок, а результат верный

leno4ek-106 в сообщении #325780 писал(а):

$G=\int_{0}^{1} dx \int\limits_{0}^{2x-2} (7x-\frac {9y} 4-\frac 9 2) dy$

-- Пн май 31, 2010 01:02:24 --

leno4ek-106 в сообщении #325780 писал(а):

$0\leqslant x\leqslant 1$
$0\leqslant y\leqslant 2x-2$
$0\leqslant z\leqslant x-\frac y 2-1$

Здесь тоже нужно исправить два последних неравенства.

[leno4ek-106]

leno4ek-106 в сообщении #325780 писал(а):

$0\leqslant x\leqslant 1$
$0\leqslant y\leqslant 2x-2$
$0\leqslant z\leqslant x-\frac y 2-1$

Цитата:

Здесь тоже нужно исправить два последних неравенства.

Ну а здесь то вроде все так?!Что тут такого?

[lel0lel]

Изобразите у себя на листочке пирамиду, которая в условии дана, сразу многое прояснится.

-- Пн май 31, 2010 01:51:56 --

lel0lel в сообщении #325790 писал(а):

Здесь, например, выбрана внутренняя нормаль, но неправильный порядок, а результат верный
$G=\int_{0}^{1} dx \int\limits_{0}^{2x-2} (7x-\frac {9y} 4-\frac 9 2) dy$

Извиняюсь, неправильный и результат. Эта грань не лежит в плоскости $xy$, нужно на косинус между плоскостями поделить ещё.

[lel0lel]

lel0lel в сообщении #325801 писал(а):

Извиняюсь, неправильный и результат. Эта грань не лежит в плоскости $xy$, нужно на косинус между плоскостями поделить ещё.

Правильно будет так: внешняя нормаль к основанию пирамиды $(1,-{1\over 2},-1)$ (здесь вектор не нормирован), а соответствующий поток: $G=\int_{0}^{1} dx \int\limits_{2x-2}^{0} (-x+\frac {7y} 4+\frac 7 2)\, dy=2$

[leno4ek-106]

А если так решать, что неправильно??
$F=(3x-1)\overline{i} + (-x+y+z)\overline{j} + 4z\overline{k}$
$P: 2x-y-2z=2$
$Oxy: z=0; n=k; ds=dxdy$
$\Pi_1=4\int\int_{Oxy}zdxdy=4\int\int_{Oxy}0dxdy=0$
$Oxz: y=0; n=j; ds=dxdz$
$\Pi_2=\int\int_{Oxz}(z-x)dxdz=\int_{0}^{1}dx\int_{0}^{x-1}(z-x)dz=\frac 1 3$
$Oyz: x=0; n=-i; ds=dydz$
$\Pi_3=-\int\int_{Oyz}(3x-1)dydz=-\int\int_{Oyz}(-1)dydz=\int\int_{Oyz}dydz=$
$=\int_{-2}^{0}dy\int_{-\frac y 2-1}^{0}dz=1$
$Xyz: 2x-y-2z=2; n=\frac {i+j-k} {\sqrt{4+1+4}}=\frac {i+j-k} 3$
$z'_x=1$
$z'_y=\frac {-1} 2$
$z=x-\frac y 2-1$
$dS=\sqrt{\(1+1+\frac 1 4}} dxdy=\frac 3 2 dxdy$
$\Pi_4=\int\int_{Xyz}((3x-1)+(-x+y+x)-4z)\frac {3} {6}dxdy=$
$=\frac 1 2\int\int_{Xyz}(-x+\frac 5 2 y-4)dxdy=\frac 1 2\int_{0}^{1}dx\int_{2x-2}^{0}(-x+\frac 5 2 y-4)dy=3$
$\Pi=\Pi_1+\Pi_2+\Pi_3+\Pi_4=0+\frac 1 3+1+3=\mathbf{\frac {13} 3}$

[Alexey1]

leno4ek-106 в сообщении #325780 писал(а):

$0\leqslant x\leqslant 1$
$0\leqslant y\leqslant 2x-2$
$0\leqslant z\leqslant x-\frac y 2-1$

Разберитесь с неравенствами. Из первого и второго неравенства следует, что $x=1$, а это уже не пирамида.
Далее, Вам необходимо найти поток векторного поля через внешнюю границу, то есть
$\int \int_{S_2} \mathbf F \cdot d\mathbf S=\int \int_{S} \mathbf F \cdot d\mathbf S-\int \int_{S_1} \mathbf F \cdot d\mathbf S=\int \int \int_T \nabla \cdot \mathbf F dV-\int \int_{S_1} \mathbf F \cdot d\mathbf S$,
где $S_2$ внешняя поверхность пирамиды, а $S_1$ основание.
Таким образом, сначала ищете поток векторного поля через всю поверность $S$ и из него вычитаете поток через основание.