Применение определенного интеграла

[0x21h]

Доброго времени суток. Бьюсь над задачей двое суток. Интуиция подсказывает, что решение должно быть элементарным (1-й курс все-таки, не 5-й), однако дело не двигается

Задача на применение определенного интеграла:

Найти силу взаимодействия между однородным стержнем и материальной точкой массы $m1$, расположенной на расстоянии $a$ от одного из концов стержня на прямой, совпадающей с осью стержня. Стержень имеет длину $l$, площадь поперечного сечения $S$, плотность материала $\rho$. Для решения задачи использовать формулу расчета силы взаимодействия двух точечных масс: $F = \gamma\frac{\left(m1m2\rigth)}{r^2}$,$\gamma = 6,67\cdot10^{-11}$ - гравитационная постоянная.

1)Найдем массу стержня: $m2 = \rho lS$
2)Если $a>>l$, то просто подставляем массу $m2$ в формулу и получаем ответ.
3)Если $a\approx l$ или $a<< l$, то надо применять определенный интеграл. Вопрос как??

На лекциях разбирали только приложения определенного интеграла к вычислению работы и энергии в центральном поле тяготения, пытался гуглить - кратные интегралы, не к моей задаче (хотя и через них можно решить, наверное), поиск по форуму также ничего не дал.

[gris]

Если бы толщина стержня была малой по сравнением с расстоянием до точки, то можно было бы обойтись однократным интегралом. Нашли бы силу взаимодействия точки и отрезка стержня длиной $ds$, находящемся на расстоянии $s$ от одного из концов стержня. Кусочек можно приблизительно считать точкой. А потом проинтегрировали бы от 0 до $l$.
Вероятно это и предполагалось. В противном случае, если это не стержень, а толстый цилиндр, без тройного интеграла не обойтись.

[0x21h]

gris, скорее всего это и имелось в виду. просто и элегантно))

$\gamma \int_{0}^{l}\frac{m1m2}{s}ds = \gamma \cdot m1m2 \cdot \int_{0}^{l} \frac{ds}{s} = \gamma \cdot m1m2 \cdot \ln(s) \vert _{0}^{l} = (\gamma\cdot m1m2)\cdot (ln(l) - ln(0))$

Однако, насколько мне известно, $ln(0) \not\exists$
В мои выкладки вкралась ошибка??

[ИСН]

Минуточку, почему от нуля?

[ewert]

0x21h в сообщении #325638 писал(а):

. просто и элегантно))

Очень элегантно. Только, во-первых, зачем же Вам потенциал?... А во-вторых, в числителе должна стоять не масса, а линейная плотность. Ну и, наконец, предел интгрирования не согласован со знаменателем.

[gris]

Можно и от нуля, только квадрат расстояния между точками будет равен $s^2+a^2$

[ewert]

gris в сообщении #325650 писал(а):

, только квадрат расстояния между точками будет равен $s^2+a^2$

Ну прям таки

[gris]

И масса кусочка будет $m_2=\rho\cdot V= \rho\cdot ds \cdot ???$

И закон Кулона не так записан

Чото у меня с доступом. А как же? Расстояние - гипотенуза. Идём от того конца, где точка на расстоянии $a$, до другого конца. На том конце $R^2=l^2+a^2$. Ну с учётом того, что стержень тонок.

-- Вс май 30, 2010 19:59:42 --

А-а-а-а-а! Пардон. Точка на оси. Фу ты. Тогда $(a+s)^2$ Совсем не интересно.

Тогда бы и с толстым стержнем прокатило бы. Посчитать всё в цилиндрических координатах. Я просто думал, что точка сбоку.

[0x21h]

Процесс решения этой задачи, видится мне следующим образом:

1) мы не можем использовать формулу расчета силы взаимодействия двух точечных масс, так как стержень у нас представлен не как точка, а как материальное тело с известными линейными размерами.

2) для того, чтобы применить эту формулу, нам необходимо разбить это тело на некоторое число меньших тел, которых мы условно будем считать материальными точками, при этом длина каждого такого мини-стержня будет равна $ds$ а сумма их длин равна:$ \int_0^l ds = s \vert_0^l = s$, т.е. равна длине всего стержня.

3) теперь остается лишь рассчитать силу взаимодействия для каждого мини-стержня, длиной $ds$:
$F_i = \gamma \cdot \frac{m1 \cdot m_i}{r_i^2}$, где:
$m_i$ - масса $i$-го элемента
$r_i$ - расстояние до $i$-го элемента

Теперь, вспоминаем как умные люди додумались считать площадь криволинейной трапеции, благо ситуация у нас такая же - мы имеем $n$ частей одного целого, и на это целое распространяется свойство аддитивности. Значит, суммарная сила взаимодействия стержня с мат. точкой есть ничто иное, как сумма (читай интеграл) сил взаимодействия мини-стержней с мат. точкой

$ F = \gamma \cdot m1m2 \cdot \int_0^l \frac{ds}{s^2}$, где $s = \sum_{i = 1}^n(r_i)$, а $r_i = ds\cdot i + a$, так как мат. точка находится на прямой, совпадающей с осью стержня.

Разве не так?

gris в сообщении #325662 писал(а):

И масса кусочка будет $m_2=\rho\cdot V= \rho\cdot ds \cdot ???$

По-моему масса есть произведение плотности на объем (как Вы правильно заметили), а объем есть произведение высоты на площадь основания (в данном случае оно у нас дано -- $S$): $m2 = \rho \cdot ds \cdot S$

gris в сообщении #325656 писал(а):

Посчитать всё в цилиндрических координатах.

Насколько я понял, решение задачи не должно сводится к переводу в более удобную коорд. систему, бо ищется решение общее, то бишь не зависящее от координат системы. К тому же единственная реально играющая роль координата - это $y$, т.к. она "олицетворяет" высоту ($a$) мат. точки над стержнем

ewert в сообщении #325649 писал(а):

Только, во-первых, зачем же Вам потенциал?... А во-вторых, в числителе должна стоять не масса, а линейная плотность.

К сожалению, задача только похожа на стандартную "взаимодействие между зарядами". Повторяю - это приложения определенного интеграла. Курс Интегрирование функций одного переменного. 1 курс 2 семестр.

ИСН в сообщении #325648 писал(а):

...предел интгрирования не согласован со знаменателем

А Вы не могли бы прояснить этот момент поподробнее?? Заранее благодарен.

[gris]

0x21h писал(а):

$F = \gamma\frac{\left(m1m2\rigth)}{r^2}$

Квадрат-то потеряли!
Расстояние от точки до очередного куска будет равно $s_i+a$

[0x21h]

gris в сообщении #325680 писал(а):

Квадрат-то потеряли!

благодарю, поправил.

ИСН в сообщении #325648 писал(а):

Минуточку, почему от нуля?

Я выбрал ноль в качестве точки отсчета интегральных сумм. Это "нижняя" точка стержня, при условии $a>0$ и "верхняя" при $a<0$.

[gris]

Если хотите поближе к определению определённого интеграла, то $m_i=\rho\cdot \dfrac l N\cdot S$, где N- число равных отрезков разбиения.

[0x21h]

gris в сообщении #325689 писал(а):

Если хотите поближе к определению определённого интеграла, то $m_i=\rho\cdot ds\cdot S$

Имхо, но... несущественно.
Для нас важнее то, что $\sum_{i=1}^{n} (m_i) = m_2$, хотя Вы, безусловно, правы

[gris]

Ну чего Вы? Всё правильно написали. Интегральная сумма $I_n=\sum\limits_{i=1}^n\dfrac{\gamma m_1 m_i}{(i\dfrac ln+a)^2}=\dfrac{\gamma m_1 m_2}n\sum\limits_{i=1}^n\dfrac{1}{(i\dfrac ln+a)^2}=\gamma m_1 \rho l S\sum\limits_{i=1}^n\dfrac{1}{n(i\dfrac ln+a)^2}=\gamma m_1 \rho S\sum\limits_{i=1}^n\dfrac{\dfrac ln}{(i\dfrac ln+a)^2}=\gamma m_1 \rho S\sum\limits_{i=1}^n\dfrac{\Delta s}{(i\Delta s+a)^2}$

Переходим к пределу.
$\lim\limits_{n\to\infty}\gamma m_1 \rho S\sum\limits_{i=1}^n\dfrac{\Delta s}{(i\Delta s+a)^2}=\gamma m_1 \rho S\int\limits_0^l\dfrac{ds}{(s+a)^2}$

НЕТ????

[0x21h]

gris, спасибо Вам за развернутое доказательство. В вопросе я разобрался, только вот забыл отписать об этом на форуме Впрочем исправлю это:

Решением задачи является $ F = \gamma m_1 \rho S \int _0^l\frac{ds}{(s+a)^2} = \gamma m_1 \rho S \int _0^l\frac{d(s+a)}{(s+a)^2} = (\gamma m_1 \rho S) \cdot (-1) (\frac{1}{(l+a)^2} - \frac{1}{a^2})$

спасибо.