Решение предела с помощью ряда Тейлора

[MaxWalker]

$$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\arcsin^3(x)-2\arctg(x)}{\ln(1+x^3)}$$

Разложил данные функции,подставил и...

$$\lim\limits_{x\to 0}\frac{(x^3 + o(x^3) )-(2x-\frac{2x^3}{3}+o(x^3))}{x^3+o(x^3)}$$

что то совсем не понимаю,как дальше решать данный предел...помогите пожалуйста

[gris]

А чего там решать? вверху главная первая степень, внизу третья. Ну сократите всё на $x$.

[MaxWalker]

и получившееся будет действительно правильным ответом?

[gris]

Ответом к такой задаче может быть число, знак бесконечности со знаком, вердикт, что предел не сущетвует. У Вас что получилось?

[MaxWalker]

ну если сократить всё на х,то получается:

$$\lim\limits_{x\to 0}\frac{x^2 + o(x^2) -2+\frac{2x^2}{3}-o(x^2)}{x^2+o(x^2)}$$

ну и дальше получается $\lim\limits_{x\to 0}\frac{-2}{0}$

то есть бесконечность?

[gris]

$-\infty$
Только вот так писать нехорошо. 0 нельзя подставлять сразу во всё выражение. Оно же в нём неопределено.

[MaxWalker]

Спасибо.можете подсказать,как тогда правильно подставлять 0 во всё выражение,ну то есть чтобы оно было в нем определено?

[gris]

Вообще все, конечно, знают, что при делении константы на 0 получается какая-то бесконечность. И Вашу запись вполне могут пропустить. Ответ же правильный. Но Некоторые преподы могут докопаться.
Я бы на всякий случай дробь перевернул и доказал, что она стремится к 0, ведь после сокращения подставлять можно, то есть является бесконечно малой, а обратная к ней бесконечно большой со знаком минус.
Но это мелочи. Хотя на экзамене могут прицепиться в случае желания.
Посмотрите конспекты у старосты.

[MaxWalker]

Спасибо Вам большое за помощь в решении:-)

[ewert]

кстати, с помощью не ряда, а формулы Тейлора