Вопрос про кривые Пирсона

[SandCastle]

Столкнулся вот с таким высказыванием:

Цитата:

В своих разработках Колмогоров А. Н. и Марков А. А. доказали, что любой закон распределения может быть записан в виде одного из двенадцати типов кривых Пирсона, поэтому для решения задачи идентификации используется метод Пирсона.

и у меня возник ряд вопросов:

• верно ли это
• где можно посмотреть доказательство этого факта
• корректно ли говорить о любых законах распределения

[GAA]

Напомню себе. Семейством Пирсона называются семейство абсолютно непрерывных распределений, плотность которых удовлетворяет уравнению

$y’ = \frac {x+a} {b_0 + b_1x+b_2x^2}y$,

где $a$, $b$ — постоянные. К этому семейству принадлежит: нормальное распределение, гамма, бета, Стьюдента, Фишера, Парето и многие другие. Первых четырех моментов достаточно для задания функции плотности этой системы.

Поскольку произвольная плотность не задается первыми четырьмя моментами распределения, то семейство Пирсона не исчерпывает множество всех возможных абсолютно непрерывных распределений, всех распределений — тем более.

// В Чулан

[SandCastle]

Спасибо за ответ, в моей голове были примерно те же мысли. И если вам не сложно, приведите в качестве контрпримера сколь-либо известное распределение, плотность которого определяется моментами порядка выше 4-го.

[--mS--]

SandCastle в сообщении #325713 писал(а):

И если вам не сложно, приведите в качестве контрпримера сколь-либо известное распределение, плотность которого определяется моментами порядка выше 4-го.

Боюсь, Вы неправильно поняли фразу "произвольная плотность не задается первыми четырьмя моментами распределения". Она означает, что существуют разные плотности распределения, первые четыре момента у которых одинаковы.

[GAA]

SandCastle в сообщении #325713 писал(а):

... приведите в качестве контрпримера сколь-либо известное распределение, плотность которого определяется моментами порядка выше 4-го.

Примером плотности, для задания параметров которой требуется больше четырех моментов, является смесь двух одномерных нормальных распределений

$f(x)=p\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_1}e^{-\frac{(x-\alpha_1)^2}{2\sigma_1^2}} + (1-p) \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_2}e^{-\frac{(x-\alpha_2)^2}{2\sigma_2^2}}, \quad 0 < p < 1$.

Для задания параметров требуется пять моментов. Задача определение параметров через первые пять моментов приводит к задаче поиска подходящего решения алгебраического уравнения девятой степени.

Однако из самого дифференциального уравнения, определяющего семейство плотностей Пирсона, вытекает сильное качественное ограничение на плотности, которые могут входить в это семейство — это плотности с одной модой (поскольку производная плотности, при положительном значении плотности, может обращаться в ноль только при одном значении аргумента: $x=-a$). Отсюда, кстати, вновь получаем, что приведенная выше смесь нормальных распределений не может, в общем случае, принадлежать семейству распределений Пирсона.

[SandCastle]

GAA, спасибо большое за полностью исчерпывающий ответ.