Предел последовательности (Лемма Больцано-Вейрштрасса)

[sasha_vertreter]

Добрый день!

Проверьте, пожалуйста, верно ли мое рассуждение:

Найти предел последовательности $b_n=\cos^2(\pi\sqrt{n^2+n})$.

Так как $-1\leq \cos(\alpha) \leq 1$ для любого $\alpha$, то $0 \leq \cos^2(\alpha)\leq 1$ и значит $b_n$ ограничена. По лемме Больцано-Вейрштрасса из данной последовательности можно извлечь две частичные последовательности, стремящиеся к 0 и 1, причем (что мне еще нужно доказать) $\varlimsup b_n=1 \neq \varliminf b_n=0$, что, в свою очередь, нарушает условие необходимости существования конечного предела для $b_n$. И значит предел $b_n$ не существует.

И еще один вопрос: если дана ограниченная последовательность $x_n$: $x_n \leq M$, $(n=1,2,3...)$, то, рассматривая точную верхнюю границу значений $x_n$ для $n>k$:

$M_k=\sup\limits_{\left\{n>k\right\}}\left\{x_n\right\}=\sup\left\{x_{k+1}, x_{k+2}, \cdots \right\}\leq M$,

утверждается, что при возрастании $k$ значение $M_k$ может лишь уменьшаться. Мне кажется они будут уменьшаться, только если $x_n$ монотонно убывает - ?
Спасибо!

[мат-ламер]

В Ваших рассуждениях ничего не понял. Попробуйте вместо корня написать его приближённое выражение (два члена ряда Тейлора). Затем применить формулу косинуса суммы.

[sasha_vertreter]

Спасибо! (а если без Тейлора - это же все-таки последовательность, а не функция)

[meduza]

sasha_vertreter в сообщении #325270 писал(а):

Мне кажется они будут уменьшаться, только если $x_n$ монотонно убывает - ?

Нет, напр. $x_n=\frac 1 n \cos(\pi n)$. Или Вы имеете ввиду строгое убывание $M_k$?

[sasha_vertreter]

meduza в сообщении #325279 писал(а):

Или Вы имеете ввиду строгое убывание

ну в общем да, а если я спрошу по-другому: если моя последовательность $x_n$ монотонно возрастает, что тогда происходит с $M_k$?

[мат-ламер]

Цитата:

Спасибо! (а если без Тейлора

. Но какую-то приближённую формулу для корня в школе проходят.

-- Сб май 29, 2010 20:27:59 --

А что у Вас за лемма Больцано-Веерштрасса с двумя предельными точками?

[meduza]

sasha_vertreter в сообщении #325280 писал(а):

ну в общем да, а если я спрошу по-другому: если моя последовательность $x_n$ монотонно возрастает, что тогда происходит с $M_k$?

Если $x_n$ ограничена сверху, то $M_k=\mathrm{const}\ \left(=\lim\limits_{n\to\infty} x_n\right)$.

[sasha_vertreter]

meduza в сообщении #325285 писал(а):

sasha_vertreter в сообщении #325280 писал(а):

ну в общем да, а если я спрошу по-другому: если моя последовательность $x_n$ монотонно возрастает, что тогда происходит с $M_k$?

Если $x_n$ ограничена сверху, то $M_k=\mathrm{const}\ \left(=\lim\limits_{n\to\infty} x_n\right)$.

я не совсем понял, почему $M_k=\tex{const}$? ведь у меня $M_k$ являются точными верхними границами множества значений $ \left\{ x_{k+1}, x_{k+2}, ... \right\}$, (причем, как я написал $\leq M$), т.е. они (границы) должны же двигаться (в пределе до М), если $x_{k+1} < x_{k+2}$, разве нет?

-- Сб май 29, 2010 16:40:04 --

[мат-ламер]

Последовательность $M_k$ уменьшается в Бурбакистском понимании этого термина - то есть не возрастает.

[sasha_vertreter]

мат-ламер в сообщении #325284 писал(а):

А что у Вас за лемма Больцано-Веерштрасса с двумя предельными точками?

я все-таки пытаюсь понять: мы же можем выделить любое количество подпоследовательностей, стремящихся к конечному пределу и лемма говорит нам о принципиальной возможности, тогда я могу выделить 2 последовательности, такие, что одна из них имеет частичный конечный предел 0, а другая - +1?
однако существование верхнего/нижнего пределов не зависит от данной леммы, так что главное - верны ли эти пределы и то, что они не равны?

-- Сб май 29, 2010 16:52:41 --

мат-ламер в сообщении #325294 писал(а):

то есть не возрастает.

т.е. если $x_n$ монотонно возрастает, то $M_k$ остается равной $M$ ?

[meduza]

sasha_vertreter в сообщении #325290 писал(а):

я не совсем понял, почему $M_k=\tex{const}$? ведь у меня $M_k$ являются точными верхними границами множества значений $ \left\{ x_{k+1}, x_{k+2}, ... \right\}$, (причем, как я написал $\leq M$), т.е. они (границы) должны же двигаться (в пределе до М), если $x_{k+1} < x_{k+2}$, разве нет?

Нет. Возьмём, например, $x_n=-\frac 1 n$ (в данном случае $M=0$, например). Для неё $\sup\limits_{n>k} x_n=\lim x_n=0$ при любом натуральном $k$, т. е. верхняя граница всегда достигается в бесконечности. И пока мы к ней двигаемся, она не меняется.

-- Сб май 29, 2010 20:56:38 --

sasha_vertreter в сообщении #325295 писал(а):

т.е. если $x_n$ монотонно возрастает, то $M_k$ остается равной $M$ ?

Вообще не обязательно. А если мы за (новое) $M$ возьмём (старое) $M+1$?

[sasha_vertreter]

meduza в сообщении #325300 писал(а):

т. е. верхняя граница всегда достигается в бесконечности. И пока мы к ней двигаемся, она не меняется.

да, спасибо! теперь понял, вообще верхняя граница не обязательно же принадлежит множеству (кошмар, это же самое начало)

[мат-ламер]

Цитата:

я все-таки пытаюсь понять: мы же можем выделить любое количество подпоследовательностей, стремящихся к конечному пределу и лемма говорит нам о принципиальной возможности,

Во-первых, все эти подпоследовательности могут сходиться к одному и тому же пределу. Во-вторых, о значении этого предела лемма ничего не говорит.

-- Сб май 29, 2010 21:11:37 --

Используйте для корня формулу $\sqrt {1+x} = 1+x/2+o(x)$.

[sasha_vertreter]

мат-ламер в сообщении #325308 писал(а):

Используйте для корня формулу ...

ок, оставляю верхние/нижние пределы, только в заключении я хотел бы спросить - мы все-таки доказываем, что предела у $b_n$ нет- правильно (я поэтому и задумался о критерии, который бы помог доказать, что предела нет, не условие же Коши использовать)? (или - о ужас - предел есть?).

[garin99]

Тейлор - это из пушки по воробьям.
$b_n=\cos^2(\pi\sqrt{n^2+n})=\cos^2(\pi\sqrt{n^2+n}-\pi n)$
и домножить на сопряжённое.