стереометрия

[NeBotan]

День добрый.

Туплю над такой задачей:

В основании пирамиды SABC лежит равносторонний треугльник ABC. Боковые грани пирамиды равновелики. Найдите объем пирамиды SABC, если ребро SA=2, а ребро $SB=\sqrt{2}$.

Сломал всю голову. додумался только до того, что
1) опускаю высоту SD треугольника SAB. Соединяю точку O (SO - высота пирамиды) и точку D. DO будет перпендикулярна SD. (по теореме о трех перпендикулярах).

2) точка О не будет совпадать с центром треугольника АВС ( будет ли она лежать на одной из биссектрис АВС я тоже не понял).

Подскажите, как двигаться по ходу решения, чтобы найти высоту и сторону основания?

[gris]

Боковые грани равновелики. Основания их равны стороне основания пирамиды. Значит равны апофемы. И проекции апофем. Если высота падает в центр треугольника, то боковые рёбра были бы равны. А если основание высоты вне треугольника?

[Vadim Shlovikov]

NeBotan в сообщении #324504 писал(а):

День добрый.

Туплю над такой задачей:

В основании пирамиды SABC лежит равносторонний треугльник ABC. Боковые грани пирамиды равновелики. Найдите объем пирамиды SABC, если ребро SA=2, а ребро $SB=\sqrt{2}$.

Сломал всю голову. додумался только до того, что
1) опускаю высоту SD треугольника SAB. Соединяю точку O (SO - высота пирамиды) и точку D. DO будет перпендикулярна SD. (по теореме о трех перпендикулярах).

2) точка О не будет совпадать с центром треугольника АВС ( будет ли она лежать на одной из биссектрис АВС я тоже не понял).

Подскажите, как двигаться по ходу решения, чтобы найти высоту и сторону основания?

По условию, в основании пирамиды лежит равносторонний треугольник и боковые грани пирамиды равновелики, а следовательно, боковые рёбра пирамиды будут равны по значению, а никак не различны.

[gris]

Равновелики не значит, что равны. Боковые грани имеют равную площадь, а основания их как треугольников равны. Значит, равны и высоты, то есть апофемы, но тогда равны и проекции апофем. То есть основание высоты пирамиды равноудалено от сторон основания.
Ну ещё подсказка: или от продолжения сторон. Автор правильно потянулся к биссектрисам. Только их много. А точек, нужных нам, три.

[NeBotan]

Vadim Shlovikov в сообщении #324603 писал(а):

По условию, в основании пирамиды лежит равносторонний треугольник и боковые грани пирамиды равновелики, а следовательно, боковые рёбра пирамиды будут равны по значению, а никак не различны.

А как боковые ребра могут быть равны, если они уже в условии даны разные?

-- Пт май 28, 2010 10:12:39 --

ПРо равную площадь я догадался.

gris в сообщении #324609 писал(а):

То есть основание высоты пирамиды равноудалено от сторон основания.

Если проекция высоты равноудалена от сторон, то это точка пересечения высот и биссектрис, так как речь идет о правильном треугольнике. Но тогда вроде получается, что ребра будут равны.... Тупик.

А если проекция высоты равноудалена от продолжения сторон, значит пирамида наклонная? А можно вопросик про биссектрисы? При чем тут они то? Я в начале их провел, потому что в равностороннем треугольнике они же высоты и медианы, и полюбас их надо было бы использовать. не более)

[TOTAL]

NeBotan в сообщении #324775 писал(а):

А если проекция высоты равноудалена от продолжения сторон, значит пирамида наклонная? А можно вопросик про биссектрисы? При чем тут они то?

Ищите равноудалённую от (продолжения) сторон точку.
Сразу поймёте, при чем биссектрисы и какие именно биссектрисы.

[Батороев]

Что-то топик-стартер долго молчит? Может, не понял?
Продолжите две стороны правильного треугольника и нарисуйте окружность, касающуюся этих продолжений и третьей стороны (снаружи треугольника). Центр окружности и будет основанием высоты пирамиды.

[gris]

Стартер уж всё решил давно. А я проводил через вершины прямые, параллельные сторонам.
Батороев, Ваш пост навеял воспоминание о вневписанной в четырёхугольник окружности, которая не касается ни одной его стороны.

[Батороев]

gris
А-а-а! Это топик-стартер про биссектрисы уточнял!
Я тут работу всю недельную доделал, да заглянул на форум отдохнуть, а с просонья то и не врубился сразу.

[NeBotan]

топик-стартер временно без инета был, потому и молчал. да и башка что-то тупит. сейчас буду применять все указания! уверен, ответ будет найден!))

[lel0lel]

Задачку можно и в лоб начать решать. Для этого сторону основания за $x$ принять, а неизвестное ребро $SC=y$, потом записываем систему двух уравнений, в основе которой заложен факт, что боковые грани равновеликие, тут нужно будет воспользоваться формулой Герона. Правда система будет не самой простой, ну а решив её, высоту уже отыскать не сложно. Правда скорее всего проще решить способом, который предложил gris.

[gris]

lel0lel, я кстати, тоже подумывал о теореме Герона, но там получается уравнение 4 степени, по-моему, я даже не стал связываться. Правда, я обозначал сторону основания через a. Ну и к тому же теорем Герона для меня ну как бы... Ну да ладно об этом.

[arqady]

NeBotan в сообщении #324875 писал(а):

уверен, ответ будет найден!))

У меня получилось $\frac{1}{4\sqrt3}$. Там, кстати, нужно ещё выяснить, какой именно из трёх сторон основания касается вневписанная окружность.
Хорошая учебная задача!

[vvvv]

Объем пирамиды, действительно, равен корню из трех деленному на двенадцать.Можно добавить, что сторона основания пирамиды и высота равны единице.Сама пирамида выглядит так.