Расчет ожидаемой продолжительности работы (мат. ожидания)

[Марк]

Из используемого материала (PDF)
Продолжительность работы рассматривается как величина случайная, вероятность которой подчиняется нормальному закону распределения. Ожидаемое время выполнения работы ($t_e$) представляет собой математическое ожидание этой случайной величины.

$$t_e=\frac {3t_{min}+2t_{max}} {5}$$

Разброс случайной величины $t_e$ определяется при помощи дисперсии $\sigma_{t_e}$.

$$\sigma_{t_{e}}^2=0.4(t_{max}-t_{min})$$

$t_{min},t_{max}$ - минимальное и максимальное время выполнения работы.

Но, формула, которая дана для вычисления Математическое ожидание больше похожа на мат.ожидание для бета-распределения с параметрами ($\alpha=2, \beta=3$) в интервале $$[t_{min},t_{max}]$. Тогда плотность распределения вероятностей будет

$$f(t)=\left\{ \begin{array}{1} \frac {(t-t_{min})^{\alpha-1}(t_{max}-t)^{\beta-1}} {(t_{max}-t_{min})^{\alpha+\beta-1}B(\alpha,\beta)}, t_{min}\leqslant t \leqslant t_{max}\\ {0, t_{max}\leqslant t \leqslant t_{min}}, \end{array} \rigth.$$

и Мат ожидание:

$${t_{e}=\frac {\beta t_{min}+\alpha t_{max}} {\alpha+\beta}=\frac {3 t_{min}+2 t_{max}} {5}$$

а как тогда посчитать дисперсию?
Я пробовал так:

$$M=\int_{t_{min}}^{t_{max}}t\cdot f(t) dt$$

$$D=\int_{t_{min}}^{t_{max}}t^2\cdot f(t) dt - M^2$$

В результате, например, при $t_{min}=10$ и $t_{max}=20$ Мат ожидание получилось $14$ во всех случаях ($t_e=M$), а вот дисперсия не сошлась: при первом способе ($\sigma_{t_{e}}^2=40$), а при втором ($D=4$);

[Хорхе]

Там Вы пропустили квадрат: $0.4(t_{\max}-t_{\min})^2$.

Но это совершенно не важно. Используемый материал лжет: дисперсия не может быть такой большой для распределенной на $[t_{\min},t_{\max}]$ величины.

[Марк]

Хорхе в сообщении #324946 писал(а):

Там Вы пропустили квадрат: $0.4(t_{\max}-t_{\min})^2$.

Точно, спасибо.

Хорхе в сообщении #324946 писал(а):

Используемый материал лжет: дисперсия не может быть такой большой для распределенной на $[t_{\min},t_{\max}]$ величины.

Вот и я так подумал, потому что если даже посчитать среднеквадратическое отклонение $\sigma_{t_e}=\sqrt {\sigma_{t_e}^2} = \sqrt{40} = 6.325$ то при сумме или разницы с мат. ожиданием ($14$) значение выходит за пределы $[t_{min}=10,t_{max}=20]$.

[Марк]

А так, как я посчитал дисперсию - будет правильно?

[Хорхе]

Формулы правильные, расчеты я не проверял.

[Марк]

Хорхе в сообщении #325366 писал(а):

Формулы правильные, расчеты я не проверял.

Да, все верно получается.
Вот тут(DOC) на 3-ей странице все хорошо показано.
Если вкратце, то дисперсия должна считаться так: $\sigma_{t_{e}}^2=0.04(t_{max}-t_{min})^2$

Кто-то когда-то опечатался... а теперь, расчеты с коэффициентом $0.4$ я в нескольких диссертациях видел.

и да! Спасибо за помощь.