Незадаваемость сходимости почти всюду никакой топологией

[Ar4i]

..на пространстве $C[0,1]$
Подскажите, как это просто доказать.
Не могу понять, за что взяться.
Спасибо.

[Padawan]

http://dxdy.ru/post287521.html#p287521

[Ar4i]

Да, спасибо, эту тему я прочитал. Но там, кажется, речь идёт о более общих вещах,
мне же нужно что-то более простое..
Я, конечно, не могу судить о "простоте" вопроса, потому как не владею этой областью (топологические пространства и сходимости в них) почти вовсе.

Или пожалуйста, поясните, если не трудно, в чем же всё таки суть доказательства.
Я так понимаю, вот этот ответ содержит решение:

Padawan в сообщении #287548 писал(а):

Отсюда автоматически следует, что и сходимость направленности функций п.в. не задаётся никакой топологией. Под сходимостью направленности функций п.в. я понимаю сходимость в поточечном смысле п.в. Свойства 1-2 выполнено. 3 вроде тоже?

Не существует топологии такой, что направленность сходится в этой топологии тогда и только тогда, когда она сходится п.в. Если бы такая топология нашлась, то это было бы верно и для последовательностей (как частного случая направленностей), что невозможно.

Значит, сходимость направленностей функций п.в. дает пример, когда $\overline{\overline{X}}\neq\overline{X}$. То есть правда новое понятие, которое к топологии не сводится.

[Padawan]

Нет, ответ от RIP. Он под тегом оффтоп, на него я дал ссылку.

[Ar4i]

Спасибо, буду разбираться.

[Padawan]

Ar4i
Там использована теорема Рисса о том, что из последовательности, сходящейся по мере, можно выделить подпоследовательность, сходящуюся п.в.

[Ar4i]

Ага, я в курсе.
А с чем собираются получить противоречие? Там ведь в рассуждении ни слова о топологии.

[Padawan]

Получается, что подпоследовательность лежит вне некоторой окрестности нуля, но в то же время сходится к нулю. Противоречие с определением сходимости.

[Ar4i]

Ох ты, я всё не туда смотрю.
То есть это я почуял, но что этого достаточно не уразумел.
Спасибо большое за разъяснение.