Найти изображение по Лапласу функции

[xStudent]

Применяя свойства преобразований, найти изображение по Лапласу функции $\int_{1} ^ {\infty} \frac{e^{-at}}{t} dt$

Sorry, не написал сразу. Я решал двумя способами, домножив на $\int_{0} ^ {\infty} e^{-at} dt$, который равен единице. Получилось некоторое выражение с логарифмом.

Еще пробовал решать заменив $\frac{1}{t}$ на z. У меня получился ответ: $\frac{1}{a} ln(1-p)$

Но преподаватель сказал, что нужно использовать одно из семи свойств преобразований Лапласа. Как применить их к этому примеру совершенно непонятно.

[Полосин]

(Оффтоп)

Ну и чего вы ждете? Что добрый дядя придет и решит вам задачу? А вы с гордостью отнесете решение преподавателю: "ставьте скорее пятерку/зачет"? Вы правила форума читали?

[AD]

от модератора AD:

Тема перемещена в карантин по вышеуказанной причине.
Задача стандартная. Напишите, что именно не получается.
Для редактирования своих сообщений воспользуйтесь кнопкой .
Как исправите - пишите сюда, чтобы тему вернули.

Полосин, откройте для себя кнопку !

[AD]

Возвращено
Еще немного подправил Ваши формулы. \e - это перебор. Умножение в виде "*" терпеть ненавижу.

[xStudent]

Спасибо, извиняюсь еще раз.

[ewert]

xStudent в сообщении #324083 писал(а):

Применяя свойства преобразований, найти изображение по Лапласу функции $\int_{1} ^ {\infty} \frac{e^{-at}}{t} dt$

Тут какая-то путаница. Она же у Вас от не $t$ зависит.

[xStudent]

Вы имеете ввиду пределы? Именно из-за этого и не получается применить свойства преобразования.

[ewert]

И не получится. Это же константа, условие явно бессмысленно. И никакого разумного его исправления тоже не просматривается.

[xStudent]

Я привел еще к одному выражению:
применяя свойства, у меня получился лапласиан $L(e^{(-\frac{t^2}{y})})$, но не знаю, что делать дальше, как его вычислить.

-- Чт май 27, 2010 10:14:43 --

Преподаватель утверждает, что есть способ избавиться от бесконечности в пределе, привести к t.
Но пока получилось только свести к интегралу от 0 до 1.

[ewert]

еще раз: прежде чем пробовать хоть что-то -- исправьте условие. Пока что ответ тривиален: $\frac{\beta}{p}$, где $\beta=\int_{a}^{\infty} \frac{e^{-x}}{x} dx$, и решительно ничего большего сказать невозможно, и никакие преобразования и свойства тут не при чем.

[xStudent]

Задание, как оно есть: применяя свойства преобразования, найти изображение по Лапласу функции: $ \int_{1} ^ {\infty} \frac{\e^{-t\tau}}{\tau} d\tau $

Я решил ещё одним методом, получил $\frac{1}{p}ln (p+1)$ - здесь уже применяя преобразования Л.

Если я отсканирую и выложу решение, кто-нибудь сможет его проверить? Заранее спасибо.

[ewert]

каким методом ни решай -- бессмысленное условие так и останется бессмысленным

-- Чт май 27, 2010 21:24:58 --

А пардон. Тут другая версия поступила: $ \int_{t} ^ {\infty} \frac{e^{-x}}{x} dx $. Это можно и принять бы б, да только подынтегральная функция откровенно не принадлежит классу оригиналов. Опять засада. Опять никаких свойств.

[xStudent]

Я заменил подынтегральное выражение на интеграл от t до бесконечности, взяв еще один параметр $\alpha$ Потом поменял порядок интегрирования.
Поскольку пределы получились уже с t, преобразования Лапласа можно применять. В книге Лаврентьева я нашел изображение экспоненты, применил его здесь.

[xStudent]

Пробовал выполнить замену переменной, получил интеграл, воспользовался формулой, связанной с преобразованием Лапласа и получил ответ.

Но преподаватель сказал, что нужно напрямую применять преобразование Л., не проводя никаких замен.
Подскажите, кто-нибудь.

[Полосин]

$$ \int\limits_0^{+\infty}e^{-pt}dt\int\limits_1^{+\infty}e^{-t\tau}\dfrac{d\tau}{\tau}=\int\limits_1^{+\infty}\dfrac{d\tau}{\tau}\int\limits_0^{+\infty}e^{-(p+\tau)t}dt=\int\limits_1^{+\infty}\dfrac{d\tau}{\tau(p+\tau)}=\dfrac{\ln(p+1)}p $$

В чем проблема-то?