Неоднородные ДУ

[Nogin Anton]

Здравствуйте!
Не уверен в правильности решения.
Посмотрите пожалуйста:

$y''-4y'+4y=x^2$; $y(0)=1$; $y'(0)=0$

$\lambda^2-4\lambda +4=0$; $\lambda_{1,2}=2$

$y_o=C_1 e^{2x}+C_2 e^{2x}x$

$y_{ch.n}=Ax^2+Bx+C$; $y'_{ch.n}=2Ax+B$; $y''_{ch.n}=2A$

$2A-8Ax-4B+4Ax^2+4Bx+4C=x^2$

Методом сравнения коэффициентов нашёл $A=\frac14$; $B=\frac12$; $C=\frac34$

$y_{ch.n}=\frac14 x^2+\frac12 x+\frac34$

$y=y_o+y_{ch.n}$

$y=C_1 e^{2x}+C_2 e^{2x}x+\frac14 x^2 +\frac12 x+\frac34$

$1=C_1+\frac34$ => $C_1=\frac14$

$y'=2C_1 e^{2x}+2C_2 e^{2x}x+C_2 e^{2x}+\frac12 x+\frac12$

$0=2C_1+C_2+\frac12$ => $C_2=-1$

$y_{ch}=\frac14 e^{2x}-e^{2x}x+\frac14 x^2 +\frac12 x+\frac34$

БОЛЬШОЕ спасибо!

[gris]

Подход правильный. Всё правильно, кроме $C=\dfrac34$. Ну чуточку ошиблись. А за $C$ поплыли и $C_1$ и $C_2$.

[Nogin Anton]

Первый переделал, С=3/8

Вот с таким не разберусь:

$y''+y=cosx+2sinx$; $y(0)1$; $y'(0)=-1$

$\lambda^2+\lambda =0$ => $\lambda_1 =0$; $\lambda_2 =-1$

$y_o=C_1+C_2 e^{-x}$

$y_{ch.n}=Acosx+2Bsinx$

$y'_{ch.n}=-Asinx+2Bcosx$

$y''_{ch.n}=-Acosx-2Bsinx$

$-Acosx-2Bsinx-Asinx+2Bsinx=2cosx+2sinx$

$-Acosx-Asinx =2cosx+2sinx$

$cosx:$ $-A=2$, => $A=-2$

Не могу найти второй коэффициент...

[gris]

Неправильно характеристическое уравнение. А потом ещё за резонансом последите.

И вообще совет. Проверяйте непосредственной подстановкой на каждом шаге. Особенно, если ищете неопределённые коэффициенты.
Здесь фэйл случился бы уже на общем решении однородного уравнения.