Задачи из Коткина и Сербо по аналитической механике

[ditvor]

Найти закон движения частицы в центральном поле $U(r) = -\frac{a}{r^n} (0<n<2)$, по траектории близкой к окружности.
Что я делаю, раскладываю $U_{ef}$ в ряд до 2 го члена...
$U_{ef} = U(r_0)+\frac{U''}{2}({r-r_0})^{2}$
У нас есть интеграл для времени через который мы можем выразить расстояние $r(t)$:
$t = \int \frac{1}{\sqrt{\frac{2}{m}({E - U_{ef}})}} dr$
Где $U_{ef}$ - $U$ эффективное(эффективная потенциальная энергия)...
Подскажите, в каком виде нужно подставлять потенциальную эффективную энергию, в интеграл, что получится, и что делать с таким интегралом, и как войдет в интеграл потенциальная энергия из условия?
Задача 5.4 из Коткина и Сербо
Может у кого-нибудь есть решения на этот задачник?

[Парджеттер]

1. А что такое $U_{ef}$? Эффективный потенциал?
2. Что значит $0<n<2$? Если имеется в виду, что $n$ может быть любым действительным числом, то обозначение $n$, принятое для натуральных и целых чисел провокационное. Задача с $n=1$ это задача Кеплера. Решается через вектор Рунге-Ленца, например. Или в лоб.
3. Есть сферическая симметрия. Отсюда следует наличие законов сохранения.
4. Вообще такие задачи решаются так. Составляется лагранжиан. Записываются уравнения Лагранжа. Решаются, если возможно. Или используется некий закон сохранения.
5. Не очень понятно, что имеется в виду под "траекторией близкой к окружности". Видимо, что берется некий постоянный радиус и малая добавка, а произведение таких добавок выкидывается?

p.s. Если сами задачу решили уже, расскажите :)

[ditvor]

Нет, не решил, $U_ef$ - это эффективная потенциальная энергия, в этом и есть весь смысл, задача вообще на колебания с одной степенью свободы... Близкой к окружности означает, что движение просиходит между двух колец, радиуса $r$ и ^$r_0$... Вот наши колебания...

Задачу Кеплера здесь не применить, ибо для задачи нужна идеальная окружность(эллипс), и если рассмотреть график потенциальной энергии, то для Кеплера нужен минимум, а у нас чуть выше получатся..

[lel0lel]

ditvor в сообщении #322083 писал(а):

Задачу Кеплера здесь не применить

Как раз наоборот, её с успехом здесь и нужно применить. Тогда тут же получите ответ на этот вопрос:

ditvor в сообщении #320825 писал(а):

Подскажите, в каком виде нужно подставлять потенциальную эффективную энергию, в интеграл, что получится, и что делать с таким интегралом, и как войдет в интеграл потенциальная энергия из условия?

ditvor в сообщении #322083 писал(а):

ибо для задачи нужна идеальная окружность(эллипс)

Ну это уже решение уравнения траектории для кулоновского потенциала, у вас же при других $n$ будут и другие решения.

ditvor в сообщении #322083 писал(а):

и если рассмотреть график потенциальной энергии, то для Кеплера нужен минимум

В задаче Кеплера минимум соответствует движению по окружности, а элипсы для других видов финитного движения. Ну и для инфинитного - гиперболы.