Частные производные сложных ф-ций

[amfisat]

Всем привет!
Вот хотелось бы разобраться с дифференцированием сложных ф-ций нескольких переменных ...
Вот, например:

$F=f(x, y, z)$, где
$x=s^2+t^2-u^2$,
$y=\frac{su}{t}$,
$z=u^{s+t}$.

Если честно, то интересуют производные 2-х порядков(хотя б 1 штука), скажем, $\frac{d^2F}{ds^2}$ - просто на примере понять, как делается ...

[meduza]

А как Вы первую производную нашли?

[amfisat]

Ну так первую-то мне несложно:
$\frac{dF}{ds}=f_1'*(2s)+f_2'*(\frac{u}{t})+f_3'*(u^s)*lnu$

Для меня вопрос - как теперь эту вот производную взять еще раз по s ?
Мое начало решения:
$\{d^2F}{ds^2}=2*f_1'+2s*f_{11}''+u^s*lnu*f_3'+u^s*f_{13}'' ... $ - я знаю, что здесь что-то не так ... но не знаю, что конкретно ...

[Алексей К.]

amfisat в сообщении #324120 писал(а):

Ну так первую-то мне несложно:
$\frac{dF}{ds}=f_1'*(2s)+f_2'*(\frac{u}{t})+f_3'*(u^s)*lnu$

Несложно --- а ошибка имеется: $u^{s+t}$ плоховато продифференцировано.

Ещё надо писать "\ln u" , а не "lnu". Так же с будущим синусом "\sin x", а не "sinx"

Дальше, мне кажется, надо с $f'_1$ поступить так же, как Вы поступили с $F$: $\dfrac{df'_1}{ds}=\ldots$. И с $f'_2$. И с $f'_3$. Типа заготовить эти формулки про запас перед финальным дифференцированием. Ой, ужас какой...

[meduza]

amfisat в сообщении #324120 писал(а):

$\frac{dF}{ds}=f_1'*(2s)+f_2'*(\frac{u}{t})+f_3'*(u^s)*lnu$

Разве $(u^{s+t})'_s=u^s\ln u$?

Дальше я не совсем понял. Ну если Вы нашли первую производную, то и вторую можете найти по тому же алгоритму. Вторая производна -- это производная от первой. Напр.
Hack attempt!
Проверим по-другому:

$$z=xy=ut^2\cdot ut=u^2 t^3,\ \frac{dz}{du}=2ut^3,\ \frac{d^2z}{du^2}=2t^3$$

P. S. Вроде бы в Демидовиче (старого издания) такие задачки разбираются.