Сумма ряда 1/(i*q^i)

[Legioner93]

Здравствуте! Есть ряд $\sum\limits_{i=1}^{\infty}\frac{1}{i\cdot q^i}$. Я записал его сумму как $f(q)$, продифференцировал по $q$, нашел $f^{'}(q)=\frac{1}{(1-q)(q)}$, дальше получается $f(q)=\ln\frac{q}{q-1}+C$. $C$ оказывается равной нулю (на компьютере посчитал сумму для $q=2$, она равна $\ln{2}$ с точностью до 15 знака). Задачу я придумал сам и решал для себя, поэтому цель достигнута, но формально показать, что $C=0$ не получается. Для этого надо для какого-нибудь $q$ посчитать по иному способу, чего я не могу. Спасибо!

[ewert]

А чему рана сумма при $q=\infty$?...

[Zealint]

Я бы на Вашем месте взял определённый интеграл. Рассмотрим ряд

$$ \sum_{n=1}^{\infty} z^{n-1} = \frac1{1-z}. $$

Интегрируем слева и справа от 0 до z:

$$ \int\limits_0^z\sum_{n=1}^{\infty} t^{n-1}dt = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^{n}}{n} = \ln \frac1{1-z}. $$

Далее вместо z надо подставить Ваше 1/q. Никаких лишних констант не появляется.

[Legioner93]

Всем спасибо!