Расстояние от начала координат до прямой

[Xokker]

Цитата:

К графику функции $f(x)=2x^4-x^3-4/3x+1$ в точке $x=0$ проведена касательная. Найти расстояние от начала координат до этой касательной.

С помощью производной нашел уравнение касательной $y=-4/3x+1$. А как найти само расстояние от начала координат до этой прямой идей нет. Буду очень признателен, если подскажете в какую сторону думать.

[gris]

Вообще-то есть формула расстояния от точки до прямой. Ну если хочется самому, то опустите перпендикуляр из начала координат на прямую (вектор нормали ясно какой), найдите пересечение и расстояние между точками.

[ewert]

Надо привести уравнение прямой к "нормальному" виду: $Ax+By-C=0$, где $\sqrt{A^2+B^2}=1$. Тогда подстановка в левую часть координат той точки, от которой ищется расстояние, и даст это расстояние. В данном случае подставлять надо нули, так что получится просто $|C|$.

[Xokker]

ewert в сообщении #324034 писал(а):

Надо привести уравнение прямой к "нормальному" виду: $Ax+By-C=0$, где $\sqrt{A^2+B^2}=1$. Тогда подстановка в левую часть координат той точки, от которой ищется расстояние, и даст это расстояние. В данном случае подставлять надо нули, так что получится просто $|C|$.

Но в данном случае равенство $\sqrt{A^2+B^2}=1$ получается неверным. Следовательно, я не могу использовать формулу $Ax+By-C=0$?

[gris]

Можно, только надо на этот корень разделить. А подставлять в модуль левой части общего уравнения $Ax+By+C=0$. При подстановке в нормальное уравнение $Ax+By-C=0$, на корень, равный 1, делить не обязательно.

(Кстати, поумничаю ячно перед кем.)

В нормальном уравнении $C\geqslant 0$ и глубокоуважаемый мог бы написать просто $C$ без модуля.
Вотъ.

[TOTAL]

Xokker в сообщении #324029 писал(а):

С помощью производной нашел уравнение касательной $y=-4/3x+1$. А как найти само расстояние от начала координат до этой прямой идей нет. Буду очень признателен, если подскажете в какую сторону думать.

Запишите уравнение окружности с центром в начале координат. Запишите условие того, что окружность и прямая имеют ровно одну общую точку. Из этого условия найдите радиус окружности, который и примите за искомое расстояние. Успехов.

[ewert]

(Оффтоп)

gris в сообщении #324052 писал(а):

В нормальном уравнении $C\geqslant 0$ и глубокоуважаемый мог бы написать просто $C$ без модуля.
Вотъ.

Дело вкуся. Воть.

(в том смысле, что все эти правила насчет знаков -- ненадежны для запоминания, модуль же -- надежен и при этом, вообще говоря, нужен)

[Xokker]

Всем спасибо.