Переставить пределы интегрирования в тройном интеграле

[ozhigin]

Хочу спросить правильно или нет?

$$ \int\!\!\!\int\!\!\!\int_G {f(x,y,z)dxdydz} $$

записать с порядком $(x,y,z)$ и $(x,z,y)$

$$ G = \{ x^2 + y^2 + z^2 \le 2z,x^2 + y^2 \ge z^2 \} $$

$$ \int\limits_{ - 1}^1 {dx} \int\limits_{ - \sqrt {1 - x^2 } }^{\sqrt {1 - x^2 } } {dy} \int\limits_{\sqrt {1 - x^2 - y^2 } + 1}^{\sqrt {x^2 + y^2 } } {fdz} = $$

это вроде правильно, а вот насчет второго есть сомнения

$$ = \int\limits_{ - 1}^1 {dx} \left[\int\limits_{\sqrt {1 - x^2 } + 1}^{|x|} {dz} \int\limits_{ - \sqrt {1 - x^2 - (z - 1)^2 } }^{\sqrt {1 - x^2 - (z - 1)^2 } } {fdy} + \int\limits_{|x|}^1 {dz} \left(\int\limits_{ - \sqrt {1 - x^2 - (z - 1)^2 } }^{\sqrt {z^2 - x^2 } } {fdy} + \int\limits_{\sqrt {z^2 - x^2 } }^{\sqrt {1 - x^2 - (z - 1)^2 } } {fdy) \right)\right]} \right) $$

[Хорхе]

Правильно, только во втором с конца знаке интеграла в верхнем пределе минус упущен.

[ozhigin]

Спасибо)
т.е.

$$ = \int\limits_{ - 1}^1 {dx} \left[\int\limits_{\sqrt {1 - x^2 } + 1}^{|x|} {dz} \int\limits_{ - \sqrt {1 - x^2 - (z - 1)^2 } }^{\sqrt {1 - x^2 - (z - 1)^2 } } {fdy} + \int\limits_{|x|}^1 {dz} \left(\int\limits_{ - \sqrt {1 - x^2 - (z - 1)^2 } }^{-\sqrt {z^2 - x^2 } } {fdy} + \int\limits_{\sqrt {z^2 - x^2 } }^{\sqrt {1 - x^2 - (z - 1)^2 } } {fdy) \right)\right]} \right) $$

так?

[Хорхе]

Так!