Найти объем тела

[Xoma]

gris в сообщении #323680 писал(а):

Призма, но усечённая. Так что её придётся разбить на обычную прямую и пирамиду. Ответ устный, для проверки.

А с интегралами - проще некуда Снаружи интегрируем по $x$ в пределах от 0 до 1, внутри по $y$ от 0 до сами-знаете-чего от $x$, а интегрируем верхнюю крышку. Повторный интеграл, никакого двойного. Правда, ушки его как бы всё равно торчат.

Но какие варианты? Можно и тройным интегрировать. Всё равно сведётся к повторному. А больше я уж и не знаю как. Какие виды интегралов здесь применимы?

Что то я запутался на счёт вот этого

Цитата:

А с интегралами - проще некуда Снаружи интегрируем по $x$ в пределах от 0 до 1, внутри по $y$ от 0 до сами-знаете-чего от $x$, а интегрируем верхнюю крышку. Повторный интеграл, никакого двойного. Правда, ушки его как бы всё равно торчат.

[gris]

Наше тело представляет собой прямой вдоль оси $z$ цилиндр, ограниченый плоскостью $z=0$ снизу и поверхностью $z(x,y)>0$, а уж тем более все поверхности плоские многоугольники. Это прямая усечённая треугольная призма. То есть это наиболее простой для нахождения объёма тела случай.

Первым делом обращаем внимание на основание нашей призмы. Это прямоугольный треугольник. И фигура тоже наиболее проста для интегрирования, то как один катет треугольника лежит на оси $x$, а гипотенуза ограничивает треугольник сверху вдоль оси $y$.

Вот теперь посмотрим, как нам интергировать.
$x$ плавно изменяется от 0 до 1.
Для каждого $x$ в плоскости основания изменяется $y$ от 0 до гипотенузы $y=1-x$.
И, наконец, для каждой точки основания $z$ изменяется от нуля до верхней крышки $z=1+x+y$.

Вот теперь запишем наши наблюдения сзаду наперёд в форме интегралов c пределами интегрирования.
По $z:\quad U(x;y)=\int\limits_0^{1+x+y}\,dz$
По $y:\quad V(x)=\int\limits_0^{1-x}U(x;y)\,dy$
По $x:\quad\int\limits_0^1V(x)\,dx$

А теперь сложим всё это, как матрёшку:

$$V=\int\limits_0^1\,\int\limits_0^{1-x}\,\int\limits_0^{1+x+y}\,dz\,dy\,dx$$

ну уж Вы сами посчитайте этот повторный интеграл или три одиночных интеграла, приведённых чуть выше

[Xoma]

Спасибо! Теперь понял!