задачи по ТерВеру (попросили помочь, но не все получается)

[Sonic86]

ADRenaLIN писал(а):

стала решение оформлять и задумалась... а то что у нас для $e_1$ в $p(x)$ переменная $x$ в квадрате стоит не имеет ли определенного смысла?

Ну смысл это имеет, но к делу не относится. Это просто означает, что функция четная и вероятность появления значения $e_1=E$ такая же, какая и вероятность появления значения $-E$.
А к модулю $|e_1|$ это не относится. "Переносить ветвь" - это я Вам смысл объяснял.
Еще раз: если $X$ имеет плотность вероятности $p(x)$ (любую), то $|X|$ имеет плотность вероятности равную $p(x)+p(-x)$ при $x \geq 0$ и равную 0 при $x<0$.

[ADRenaLIN]

Задача.
Известно, что СВ имеет биномиальное распределение $Pn(m)=Cn*p^m*(1-p)^(n-m)$ (не знаю как правильно формулу здесь напечатать). Неизвестным является параметр $p$. Используя метод наибольшего правдоподобия найти по реализации выборки $(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7,x_8)$ значение $p^*$ неизвестного параметра.
$x_1=52,x_2=48,x_3=49,x_4=49,x_5=52,x_6=50,x_7=47,x_8=48, n=65$.

В Гмурмане есть задача на этот метод. Найти методом наибольшего правдоподобия оценку параметра $p$ биномиального распределения $Pn(k)=Cn*p^k*(1-p)^(n-k)$, если в $n_1$ независимых испытаниях событие А появилось $x_1=m_1$ раз и в $n_2$ независимых испытаниях событие А появилось $x_2=m_2$ раз.
Решение: оценка вычисляется по формуле $(m_1+m_2)/(n_1+n_2)$.

Если я правильно поняла, то в моем случае оценка равна
$(m_1+m_2+...+m_8)/(n_1+n_2+...+n_8)$. В принципе это все наглядно...
В числах получается вроде как так $(52+48+...+48)/65$, но тогда вероятность больше 1 получается. Или я что-то напутала в вычислении в числах?

[Sonic86]

Индексы в фигурных скобках набирать. Наведите мышкой на формулу $P_n(k)=C_n^k p^{k} (1-p)^{n-k}$
А почему Вы делите на $65$, а не на $65+65+65+65+65+65+65+65$?

[ADRenaLIN]

Sonic86 в сообщении #323401 писал(а):

Индексы в фигурных скобках набирать. Наведите мышкой на формулу $P_n(k)=C_n^k p^{k} (1-p)^{n-k}$
А почему Вы делите на $65$, а не на $65+65+65+65+65+65+65+65$?

вот и я думаю, что $n_1=65, n_2=65...$, тогда надо делить на $8*65$. но неужели преподу сложно индекс указать. почему блин решающие должны искать иголку в стоге сена

Спасибо за подсказку...
Скоро еще. наверно, вопросы появятся.

-- Пн май 24, 2010 15:28:54 --

Задача.
В рез-те 14 опытов получена несмещенная оценка $s=45$ для дисперсии НСВ. Найти доверительный интервал для среднего квадратического при доверительной вероятности ${\gamma}=0.98$
Решение: По таблице найдем q, учитывая, что ${\gamma}=0.98, n=14$
Искомый доверительный интервал таков: $45*(1-q)<{\sigma}<45*(1+q)$
Как найти? В моих таблицах такой доверительной вероятности нет :(

Я решение смотрела в Гмурмане... наверно в Письменном тоже есть, но в таблицах там тоже нет моей дов-ной вероятности

[Sonic86]

Я нашел это место в Гмурмане. Так там написано, что предполагается, что случайная величина распределена нормально. У Вас же о распределении ничего не написано.

А если пользоваться нормальностью распределения, то ответ есть и в Письменном (стр. 208):

$$\sigma \in (\frac{S \sqrt{n-1}}{\chi _2}; \frac{S \sqrt{n-1}}{\chi _1})$$

где $\chi _j$ - квантили распределения хи-квадрат:

$$\chi _1^2 = \chi ^2(\frac{1+P}{2};n-1) \ \chi _2^2 = \chi ^2(\frac{1-P}{2};n-1)$$

, здесь $P$ - доверительная вероятность.
Квантили вычисляются в Excel с помощью функции ХИ2ОБР.

[ADRenaLIN]

Sonic86 в сообщении #323659 писал(а):

Я нашел это место в Гмурмане. Так там написано, что предполагается, что случайная величина распределена нормально. У Вас же о распределении ничего не написано.

А если пользоваться нормальностью распределения, то ответ есть и в Письменном (стр. 208):

$$\sigma \in (\frac{S \sqrt{n-1}}{\chi _2}; \frac{S \sqrt{n-1}}{\chi _1})$$

где $\chi _j$ - квантили распределения хи-квадрат:

$$\chi _1^2 = \chi ^2(\frac{1+P}{2};n-1) \ \chi _2^2 = \chi ^2(\frac{1-P}{2};n-1)$$

, здесь $P$ - доверительная вероятность.
Квантили вычисляются в Excel с помощью функции ХИ2ОБР.

"для дисперсии НСВ" - указано...
брррр... по Письменному что ли пытаться перерешать... млин, у Гмурмана такое решение просто и красивое...

-- Вт май 25, 2010 09:15:06 --

всплыли еще задачи, которые не получаются...
Задача.
По заданной плотности распределения $p_1(x)$ случайной величины $e_1$ определить функцию распределения случайной величины $e_2=f(e_1)$. $e_2=f(e_1)$ задана графически. Построить график функции распределения и, используя дельта-функцию, найти выражение для плотности распределения $p_2(y)$ случайной величины $e_2$.
$p_1(x)=0.5$ при $-1<x<=1$, $p_1(x)=0$ при $x<=0$ и $x>1$.
Больше ничего в условии не дано.

-- Вт май 25, 2010 09:22:51 --

Задача.
Дана плотность распределения $p_e_1(x)$ случайной величины $e_1$. Найти плотность распределения $p_e_2(y)$, математическое ожидание $M_e_2$, дисперсию $D_e_2$ случайной величины, которая представляет собой площадь равностороннего треугольника со стороной $e_1$.
$p_e_1(x)=1/(b-a) a<=x<=b, p_e_1(x)=0 x<a, x>b$
Математическое ожидание и дисперсию сама найду, не знаю как плотность распределения найти. Вот

[Sonic86]

ADRenaLIN писал(а):

"для дисперсии НСВ" - указано...
брррр... по Письменному что ли пытаться перерешать... млин, у Гмурмана такое решение просто и красивое...

Не понял? Что-то непонятно?
Я точно не вчитывался, что там у Гмурмана. Дело-то в том, что используется предположение о нормальности распределения. Тогда задача стандартная и значит у Гмурмана должно быть то же, что и у Письменного. А вот если без распределения, то я не знаю...

ADRenaLIN писал(а):

определить функцию распределения случайной величины $e_2=f(e_1)$

И где $f$? Ну там тоже просто $F_2(x)=P(e_2<x)=P(f(e_1)<x)$, а $P(e_1<x)=F_1(x)$ - функция распределения для $p(x)$. Отсюда и ищете $p_2(x)$.

[ADRenaLIN]

$f$ нигде не дано. рисунка к заданию не прилагалось

[Sonic86]

Без $f$ никак. Спросите у преподавателя.

[ADRenaLIN]

ADRenaLIN в сообщении #323664 писал(а):

Задача.
Дана плотность распределения $p_e_1(x)$ случайной величины $e_1$. Найти плотность распределения $p_e_2(y)$, математическое ожидание $M_e_2$, дисперсию $D_e_2$ случайной величины, которая представляет собой площадь равностороннего треугольника со стороной $e_1$.
$p_e_1(x)=1/(b-a) a<=x<=b, p_e_1(x)=0 x<a, x>b$
Математическое ожидание и дисперсию сама найду, не знаю как плотность распределения найти. Вот

а эту задачу как? мне нужно только как плонтость распределения найти

-- Вт май 25, 2010 14:49:51 --

Еще одна из немногих оставшихся задач
на отрезке $[0,{\alpha}]$ рассматриваются $n$ независимых случайных величин $e_1, e_2,...,e_n$, равномерно распределенных на отрезке $[0,{\alpha}]$. Найти вер-ть, что их сумма заключена между $x_1$ и $x_2$.

[Sonic86]

ADRenaLIN писал(а):

Еще одна из немногих оставшихся задач
на отрезке $[0;\alpha]$ рассматриваются $n$ независимых случайных величин $e_1,...,e_n$, равномерно распределенных на отрезке $[0;\alpha]$. Найти вер-ть, что их сумма заключена между $x_1$ и $x_2$.

Согласно центральной предельной теореме (вроде бы) сумма большого числа одинаково распределенных слагаемых нормально распределена при $n \to + \infty$. Реально достаточно $>10$ слагаемых, равномерно распределенных. Найдите параметры этого нормального распределения и вычислите вероятность.

ADRenaLIN писал(а):

а эту задачу как? мне нужно только как плонтость распределения найти

Вводите систему координат, рисуйте в ней равносторонний треугольник как Вам захочется (лучше, если одна из сторон лежит на Оу, а противоположная вершина - на Ох). Находите функцию распределения по определению и ищите ее производную.

[ADRenaLIN]

Sonic86 в сообщении #323764 писал(а):

Согласно центральной предельной теореме (вроде бы) сумма большого числа одинаково распределенных слагаемых нормально распределена при $n \to + \infty$. Реально достаточно $>10$ слагаемых, равномерно распределенных. Найдите параметры этого нормального распределения и вычислите вероятность.

я поняла... применяем формулу $P({\alpha}<X<{\beta})=F(\frac{{\beta}-a}{{\sigma}})-F(\frac{{\alpha}-a}{{\sigma}})$
математическое ожидание суммы равно математическому ожиданию слагаемого (у меня отрезок $[0;1/3]$ следовательно $a=1/6$), среднее квадратическое суммы равно среднее квадратическое слагаемого разделить на корень из количества слагаемых (у меня $n=108$, дисперсия равна $1/108$, следовательно, ${\sigma}=1/108$).
Тодга получается, что $P(17<X<20)=F(\frac{20-1/6}{1/108})-F(\frac{20-1/6}{{1/108}})= F(2142)-F(1818)$. Реально ли такое?

-- Вт май 25, 2010 16:13:15 --

похоже, что нагло вру...

-- Вт май 25, 2010 16:19:39 --

все исправила, все получилось в этой задаче... голова кругом :(

-- Вт май 25, 2010 16:32:29 --

Sonic86 в сообщении #323281 писал(а):

Распределение $p(x)={\gamma}*\exp(a*x^2+b*x+c)$ - нормальное, просто очень общо задано.
${\gamma}$ находится из условия нормировки плотности вероятности $\int\limits_{- \infty}^{+ \infty}p(x)dx = 1$.

туплю с подсчетом интеграла из условия нормировки :(

-- Вт май 25, 2010 17:02:11 --

еще ступила с элементарной задачей.
Пол состоит из прямоугольных плиток со сторонами 6 см и 24 см. На пол брошена монета диаметром 2 см. Какова вер-ть того, что монета полностью окажется на одной плитке.
Решение: Имеем геометрическую вероятность. Тогда $P=\frac{S_g}{S_G}$. Если фигура g это монета, а фигура G это одна плитка, то уж какая-то вер-ть маленькая получается (0,022).
Или я опять намудрила уже и пора передохнуть :(
или похоже, что условие задачи неполное... количества плиток нет в условии. тогда g - это одна плитка, G - это весь пол

[ADRenaLIN]

Еще одна задача (возможно последняя)
Случайная величина $e_i$с одинаковой вероятностью может принимать одно из двух значений: $i^{\alpha}$ или $-i^{\alpha}$. Выяснить, удовлетворяет ли последовательность $e_1, e_2,...,e_i,...$ попарно независимых случайных величин закону больших чисел $limP(|\frac{1}{n}*($сумма$e_i)-\frac{1}{n}*($сумма $M_e_i)|<{\epsilon})=1$, ${\epsilon}>0$. Решить задачу для двух значений параметров ${\alpha}$: ${\alpha}_1=-1$ и ${\alpha}_2=0,1$.

[Sonic86]

ADRenaLIN писал(а):

математическое ожидание суммы равно математическому ожиданию слагаемого

ADRenaLIN писал(а):

похоже, что нагло вру...

именно!
У Вас $X = e_1 + ...+ e_n$. Берите от обеих частей матожидание и находите $M(X)$, аналогично и дисперсию, но посложнее. Ну и соответственно исправляйте все вычисление (далее принцип у Вас правильный).

ADRenaLIN писал(а):

все исправила, все получилось в этой задаче... голова кругом :(

Все-таки получилось?

ADRenaLIN писал(а):

туплю с подсчетом интеграла из условия нормировки :(

Пишите, что делаете. Там надо только интеграл Пуассона знать.

ADRenaLIN писал(а):

еще ступила с элементарной задачей.

Число плиток там неважно, считаем, что вся плоскость плотно покрыта бесконечным количеством плиток. Пишите, как считали, ответ неправильный (даже интуитивно видно, что неправильный)

ADRenaLIN писал(а):

Еще одна задача (возможно последняя)

Посмотрите достаточные условия для закона больших чисел и примените их к указанной величине.

[ADRenaLIN]

Интеграл Пуассона не знаю :( честно...

про плитки: площадь монеты делила на площадь плитки... а потом подумала, что что-то здесь не так