Логарифм комплексного числа

[Ali_Ka]

Добрый день!
Подскажите пожалуйста, правильно ли я нахожу $\ln(-\frac{4i}{3})$?
Сначала найдём модуль и аргумент числа $-\frac{4i}{3}$:

$$|z| = \frac{4}{3}, arg(z) = \varphi = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in Z.$$

Тогда

$$\ln(z) =\ln(|z| \cdot e^{i \cdot arg(z)}) = \ln|z| + i (\varphi + 2\pi k).$$

Для нашего числа $z = -\frac{4i}{3}$ получаем:

$$\ln(-\frac{4i}{3}) = \ln\frac{4}{3} + i(-\frac{\pi}{2} + 4\pi k, k \in Z).$$

Верно ли, что в последней записи у меня получилось $4 \pi k$, или такие "добавки" не складывают и надо оставить $2\pi k$?
Заранее спасибо!

[Sonic86]

Откуда вообще у Вас там $4 \pi k$ ?
Просто $2 \pi k$. В точности по формуле логарифма комплексного числа.

(Оффтоп)

Если Вы вдруг посчитали $\varphi = \varphi _0 + 2 \pi k$ и потом эти $2 \pi k$ и те $2 \pi k$ сложили, то ай-яй-яй!!! С чего это Вы вдруг разные по смыслу числа обозвали одинаковыми буквами. Во-вторых $\arg (z)$ - это одно число из промежутка $[0; 2 \pi]$, а не множество чисел. Ну да! Так и есть! Ай-яй-яй...

[Ali_Ka]

Sonic86, в общей формуле есть $2\pi k$, а в получившемся значении для $\varphi$ тоже есть $2\pi k$... ну я их и сложил :) Значит не нужно было... А вообще решение правильное?

[Sonic86]

Решение-то в остальном правильное.

Ali_Ka писал(а):

в общей формуле есть $2 \pi k$, а в получившемся значении для $\varphi$ тоже есть $2 \pi k$... ну я их и сложил :)

юморист Вы, батенька Вы смысл этого $k$ понимаете??? Отвлечемся пока от того, что $\arg (z)$ - это одно число, без всяких там $k$, возьмем пока $\Arg(z)$. Смысл такой $\Arg(z)$ равно некоторому углу + целое число раз по $2 \pi$. И логарифм тоже равен некоторому действительному числу + $i$ умножить на некий угол + целое число раз по $2 \pi$. В одном месте целое число и в другом тоже целое число. И следовало бы их назвать $k_1$ и $k_2$, а когда Вы на автомате пишите $k$, это значит, что Вы еще и утверждаете, что $k_1 = k_2$! Ну нельзя же так... Это ж совершенно независимые друг от друга целые числа...

[Ali_Ka]

Sonic86, ну да, теперь понял глубину глупости