Погрешность вычислений (проверить)

[rar]

Вычислить значение $Z$ и оценить абсолютную и относительную погрешность результата, считая, что значения исходных данных получены в результате округления. Целые числа считать точными. Одинаковые числа считать результатом округления одной и той же величины. Записать результат с учётом погрешностей.

$Z=\sin{(\sqrt{1,01}+\sqrt{2\cdot 1,01}-\sqrt{3,03})}$


Решение:

$a=1,01$ $\Delta a=0,005$
$b=3,03$ $\Delta b=0,005$

$Z(a,b)=\sin{(\sqrt{a}+\sqrt{2\cdot a}-\sqrt{b})}=0,633$
$Z(a+\Delta a,b+\Delta b)=\sin{(\sqrt{a+\Delta a}+\sqrt{2\cdot (a+\Delta a)}-\sqrt{b+\Delta b})}=0,635$

$\Delta Z=Z(a+\Delta a,b+\Delta b)-Z(a,b)=0,002$
$\delta Z=\Delta Z/|Z|=0,003$ $(0,3 \%)$


Ответ: $Z=0,633\pm 0,002$

[rar]

Вычислить значение $Z=3,01\cdot e^{2,18}-2,18\cdot e^{3,01}$ и оценить абсолютную и относительную погрешность результата, считая, что значения исходных данных получены в результате округления. Одинаковые числа считать результатом округления одной и той же величины. Записать результат с учётом погрешности.

Решение:

$Z=3,01\cdot e^{2,18}-2,18\cdot e^{3,01}\approx -17,74$
$a=3,01$$ $\Delta a=0,005$
$b=2,18$$ $\Delta b=0,005$
$\Delta Z(a,b)=|Z^{'}_{a}(a,b)|\Delta a+|Z^{'}_{b}(a,b)|\Delta b=|(a\cdot e^{b}-b\cdot e^{a})^{'}_{a}|\Delta a+|(a\cdot e^{b}-b\cdot e^{a})^{'}_{b}|\Delta b\approx 0,21$
$\delta Z=\Delta Z/|Z|\approx 0,012 (1,2 \%)$

Ответ: $Z=-17,74\pm 0,21$

Скажите, сейчас-то правильно сделал?

[GAA]

rar в сообщении #325552 писал(а):

Вычислить значение $Z=3,01\cdot e^{2,18}-2,18\cdot e^{3,01}$ и оценить абсолютную и относительную…

У меня получилось $Z \equiv Z(3.01, 2.18) \approx -17.599$. При вычислении $\Delta Z$ Вы правильно подставили числа в формулу (мой результат вычислений совпадает с Вашим результатом). Только я бы посмотрел в конспект на предмет формулы. Возможно, от Вас ожидают вычисление по такой формуле:

$ \Delta Z = \sqrt{\sum_{i=1}^n\left(Z_{x_i}’\right \Delta x_i)^2}$.

В этом случае $ \Delta Z \approx 0.18$.

-- Вс 30.05.2010 17:22:52 --

rar в сообщении #323268 писал(а):

...$Z=\sin{(\sqrt{1,01}+\sqrt{2\cdot 1,01}-\sqrt{3,03})}$...

Те же замечания.

[rar]

Нет никаких конспектов по этой теме. Мне посоветовали ту, которую я использовал. Ну скажите, я правильно всё сделал? Я имею в виду второе задание. На первое пока не смотрите.

[ewert]

GAA в сообщении #325642 писал(а):

Возможно, от Вас ожидают вычисление по такой формуле:

$ \Delta Z = \sqrt{\sum_{i=1}^n\left(Z_{x_i}’\right \Delta x_i)^2}$.

Вряд ли. А если ожидают, то очень напрасно. Речь-то не о статистической ошибке, а о погрешности округления.

[rar]

Где про это, вообще, прочитать можно? :) Честно скажу, у меня в учебнике Турчака про это ничего не сказано.

Самое интересно, я же по в любом случае буду округлять, даже по этой формуле. Так каким образом я смогу точно найти абсолютную погрешность?

[GAA]

ewert, полностью согласен. Задание сформулировано довольно кратко. При такой формулировке и довольно сложном выражении для функции, указанная Вами формула, мне кажется самой естественной.

rar, о приближенном вычислении предельной абсолютной погрешности можно посмотреть в книге Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики (свободно доступна в сети). Однако там Вы найдете лишь следующее. Т.к. $\Delta x_i$ обычно малые величины, то пренебрегая степенями выше первой будем иметь

$|\Delta f| \approx |df| = |\sum f_{x_i}’\Delta x_i| \le \sum |f_{x_i}’ ||\Delta x_i|$,

поэтому для предельной абсолютной погрешности, $|\Delta_f|$, полагают

$|\Delta_f| = \sum |f_{x_i}’ |\Delta_{x_i}$.

-- Вс 30.05.2010 18:54:22 --

$\Delta_{x_i}$ — предельные погрешности аргументов.

[ewert]

GAA в сообщении #325695 писал(а):

Задание сформулировано довольно кратко.

Почему же, вполне недвусмысленно:

rar в сообщении #323268 писал(а):

считая, что значения исходных данных получены в результате округления.

[GAA]

rar, в книге Турчак Л.И., Плотников П.В. Основы численных методов, 2003 используемая Вами формула приводится на с. 19 [Глава 1, §1, п.3 (Действия над приближенными числами)]. Лучше сразу указывать предмет, по которому выполняете упражнение, тогда и недоразумений не возникает. В величине погрешности мы с Вами совпадаем, но в значении функции нет, проверьте.

ewert, для меня "довольно кратко". Поясню.

rar в сообщении #325552 писал(а):

... оценить абсолютную ... погрешность результата ...

Не указано, о какой оценке абсолютной погрешности идет речь. Указание в условии: «значения исходных данных получены в результате округления», я так понимаю, должно наводить на мысль, что требуется найти предельную погрешность значения функции (если бы я знал, что предмет «Численные методы», то колебаний не было бы).
На прямоугольнике $[a-\Delta a, a+\Delta a] \times [b-\Delta b, b+\Delta b]$ функция достигает максимума $Z_{max} =-17.390$ (округлено $+\infty$), и минимума $Z_{min} = -17.808$ (округлено к $-\infty$). Следовательно, абсолютная погрешность не превосходит $\max (|Z - Z_{min}|, |Z - Z_{max}|) = 0.209$, где $Z = -17.599$, т.е. предельная абсолютная погрешность приближенно равна 0.209.
Однако, как я писал далее «... и довольно сложном выражении для функции ...» (в смысле для учебной задачи). Вместо точной оценки абсолютной погрешности сверху, скорее всего, ожидается использование приближенной оценки.
Если вычислить, так как делал rar, то получим 0.209. Совпадаем. [Точнее, используя приближенное выражение, у меня получилось 0.2086, а точная оценка сверху оказалась равной 0.2087.] Однако, нужно ли как-то оценивать точность значения, получаемого при помощи приближенной формулы, из условия не вытекает. Т.е. скорее всего не надо, но это для меня из условия не следует.
А вот студентам, которым читают лекции, или рекомендуют определенные книги, вполне ясно. И мне стапло ясно, после того, как была указана приведенная выше книга.

[ewert]

Ну я плохо понимаю, о чем мы говорим, но ситуация выглядит довольно очевидной.

Во-первых, речь идет, разумеется, об оценках по первому приближению. Погрешности практически всегда так оцениваются.

Во-вторых, есть два стандартных способа суммирования погрешностей по независимым переменным: квадратичный и "линейный". С чем это связано?... -- С тем, как мы расцениваем распределения этих погрешностей. Если как нормальные -- то складываем квадратично (то есть оценкой погрешности считаем СКО). Если как равномерные -- то складываем линейно (то есть оцениваем погрешности по максимуму). Поскольку в первом случае бессмысленно говорить о максимальной погрешности, а во втором -- практически малополезно говорить о средней.

Так вот: погрешности округления распределены (в данном случае) -- заведомо равномерно.

[rar]

Сейчас проверьте пожалуйста.

$Z=3,01\cdot e^{2,18}-2,18\cdot e^{3,01}\approx -17,645$ (удерживал 3 знака после запятой)
$a=3,01$ $\Delta a=0,005$
$b=2,18$ $\Delta b=0,005$
$\Delta Z=\sqrt{[Z^{'}_{a}(a,b)\cdot \Delta a]^2+[Z^{'}_{b}(a,b)\cdot \Delta b]^2}\approx 0,179$
$\delta Z=\Delta Z / |Z|=0,179/17,645\approx 0,01 (1\%)$

Ответ: $\Delta Z=-17,645\pm 0,179$

-- Пн май 31, 2010 10:26:11 --

И первое задание:

$Z=\sin{(\sqrt{a}+\sqrt{2\cdot a}-\sqrt{b})}\approx 0,633$
$\Delta Z=\sqrt{[Z^{'}_{a}(a,b)\cdot \Delta a]^2+[Z^{'}_{b}(a,b)\cdot \Delta b]^2}=\sqrt{\left[\cos{(\sqrt{a}+\sqrt{2\cdot a}-\sqrt{b})\left(\frac{1}{2\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{2\cdot a}}\right)}0,005\right]^2+\left[\cos{(\sqrt{a}+\sqrt{2\cdot a}-\sqrt{b})\frac{1}{2\sqrt{b}}0,005\right]^2}\approx \sqrt{0,00003+0,00111}\approx 0,034$
$\delta Z=\Delta Z/|Z|=0,034/0,633\approx 0,054 (5,4\%)$

Ответ: $Z=0,633\pm 0,034$

[GAA]

Простите меня rar. Я первоначально ошибся, а затем видимо плохо высказал, что согласен с методом, указанным Вам ewert’ом.

Не надо корня из суммы квадратов. Делайте как делали.

rar в сообщении #325552 писал(а):

$Z=3,01\cdot e^{2,18}-2,18\cdot e^{3,01}\approx -17,74$
$a=3,01$$ $\Delta a=0,005$
$b=2,18$$ $\Delta b=0,005$
$\Delta Z(a,b)=|Z^{'}_{a}(a,b)|\Delta a+|Z^{'}_{b}(a,b)|\Delta b=|(a\cdot e^{b}-b\cdot e^{a})^{'}_{a}|\Delta a+|(a\cdot e^{b}-b\cdot e^{a})^{'}_{b}|\Delta b\approx 0,21$
$\delta Z=\Delta Z/|Z|\approx 0,012 (1,2 \%)$

Только проверьте вычисление Z.

Аналогично делайте и вторую задачу.

[GAA]

rar в сообщении #325842 писал(а):

$Z=3,01\cdot e^{2,18}-2,18\cdot e^{3,01}\approx -17,645$ (удерживал 3 знака после запятой)

Если удерживать три знака после запятой, то у меня получается $-17.599$.

[rar]

GAA в сообщении #325946 писал(а):

rar в сообщении #325842 писал(а):

$Z=3,01\cdot e^{2,18}-2,18\cdot e^{3,01}\approx -17,645$ (удерживал 3 знака после запятой)

Если удерживать три знака после запятой, то у меня получается $-17.599$.

Я при каждом вычислении удерживал три знака. Вы на калькуляторе посчитали все по всей длине его разрядной сетки, а уж потом результат округлили.

[ewert]

rar в сообщении #326006 писал(а):

Вы на калькуляторе посчитали все по всей длине его разрядной сетки, а уж потом результат округлили.

А ровно так и надо. Иначе умучаешься -- при каждом умножении/вычитании дополнительно возникающие погрешности учитывать, да и не в этом смысл задачи.