Помогите пожалуйста с топологией

[Sate]

Надо решить 5 любых заданий

1. Докажите что топологической пространство с тривиальной топологией не является хаусфордовым, если оно содержит не более одной точки.
2. Докажите что окружность и эллипс в $R^2$ гомеоморфны.
3. Пусть A = [0, 1] - отрезок вещественной прямой. Найти Int A
4. На отрезке [0, 1] окрестностями произвольной точки, кроме нуля назовём обычные окрестности, а окрестностями нуля назовём всевозможные полуинтервалы [0, a) с выброшенными точками 1/n , n=2,3,4.. Докажите, что полученное топологическое пространство хаусфордово, но не регулярно
5. Докажите, что тор Клиффорда $S^1$x$ S^1$ является гладким многообразием.
6. Пусть $A\subset X$ связно, и множество $B\subset X$ такое, что $A\subset B \subset \bar {A} $. Докажите, что B связно.
7. Докажите, что множество А топологического пространства Х открыто тогда и только тогда, когда $\partial A\cap A $ - пустое множество.

Курс у нас - геометрия и топология, на топологию пришлось только последних две пары в семестре --> вообще ничего не понятно.. надеюсь на вашу помощь.

[id]

1) Окрестность точки есть открытое множество, точку содержащее. Топологическое пространство хаусдорфово, если у любых двух разных точек есть непересекающиеся окрестности. В тривиальной топологии только 2 множетсва открыты, пустое и все пространство. Поэтому... отсюда следует первая задача.

2) Гомеоморфизм - биекция, непрерывная в обе стороны.
Выберите для эллипса главные оси (ед. длины), уравнение эллипса в них примет канонический вид. Значит, сдвигом и растяжением окружность преобразуется в эллипс; эти преобразования очевидно осуществляют гомеоморфизм.

3) Внутренность $A$ есть объединение открытых множеств, содержащихся в $A$. Интервал $(0,1)$ открыт, он и будет внутренностью. Еще пара слов - и задача решена.

7) Удобно воспользоваться тем, что $\partial A = \mathsc{Cl} A \setminus \mathsc{Int} A$, для открытых и только для них $\mathsc{Int} A = A$

Еще шестая очень прострая.

[Sate]

спасибо большое!
ещё парочку можно?)

[neo66]

4)Хаусдорфовость очевидна. Рассмотрите 2 случая - а)обе точки не 0, b)одна точка 0.
Для доказательства нерегулярности рассмотрите точку 0 и замкнутое множество - дополнение к какой-нибудь окрестности нуля.
5)Произведение любых гладких многоообразий - гладкое многоообразие.

[Padawan]

(Оффтоп)

Ух ты, тор, оказывается, Клиффорд придумал

[neo66]

До кучи:
6)Доказывается просто по определению. Предполагаем, что $B$ несвязно и приходим к противоречию. На всякий случай напомню определение несвязного множества: $A\subset X$ несвязно, если существуют открытые непересекающиеся подмножества $X$ - $U$ и $V$, такие, что $A \subset U\cup V $ и $U\cap A$ и $V\cap A$ непусты.