Поток векторного поля.

[timofei]

Качественно неправильно решил задачу, потому что проверял несколько раз на арифметику..В чем ошибка?

Задача такая

Вычислить поток векторного поля поверхности пирамиды, образованной плоскостью $P$ и координатными плоскостями.

а) Использовав определение потока

б) По Теореме Остроградского-Гаусса

$$\vec a = x \vec i + (x+z)\vec j + (y +z)\vec k$$

$$P: 3x+3y+z=3$$

а)

$$ \vec a = x \vec i + (x+z)\vec j + (y +z)\vec k=P \vec i + Q \vec j + R \vec k $$

$P=x$;$Q=x+z$ $R=y+z$

Перепишем уравнение плоскости в виде

$\dfrac{x}{1}+\dfrac{y}{1}+\dfrac{z}{3}=1$

$z=3-3x-3y$

$0\le x \le 1$

$0\le y \le 1-x$

$0\le z \le 3-3x-3y$

$z_x'=-3$

$z_y'=-3$

$P=x$

$Q=x+z=x+3-3x-3y=3-2x-3y$

$R=y+z=y+3-3x-3y=3-3x-2y$

$$\Phi = \iint\limits_S [P(-z_x')+Q(-z_y')+R]dxdy=\int\limits_0^1\int\limits_0^{1-x} [3x+3(-2x-3y)+3-3x-2y]dy=\dfrac{19}{6}$$

По теореме Остроградского-Гаусса $\Phi = 1$ Там точно все правильно и по ней считать проще!

[ИСН]

(читал только последнюю строчку)
Вы по какой поверхности интегрируете?

[Padawan]

А по координатным плоскостям кто интегралы будет считать?

[ewert]

а кто по координатным граням считать поток будет?...

(Оффтоп)

(не стираю, ибо понравилось)

[timofei]

Т.е. нужно по всем плоскостям в Теореме Остраградского-Гаусса считать?

$(\vec \nabla,\vec a) = 2$

например поток через плоскость $z=0$

$\Phi_z=2\int\limits_{0}^1dx\int\limits_0^{1-x}dy\int\limits_0^{0}dz=0$ (тк интеграл от нуля до нуля равен нулю!!!)