о понятии верхнего/нижнего предела

[Бабай]

У меня возник вопрос:

В чём конкретно заключается связь между понятием верхнего/нижнего предела последовательности и соответствующего понятия для множеств?

[Padawan]

Верхний предел характеристических функций множеств будет характеристической функцией верхнего предела множеств.

[Бабай]

То есть Вы имеете ввиду это тождество?

$\lim\sup_n{\text{I}_{A_n}(x)}=\text{I}_{\lim\sup_nA_n}(x)$

[Бабай]

Я привёл пару примеров для верхнего предела, из которых кажется видно, в чём дело:

Пусть $A_n:=(-\infty,x_n)$, а $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ определена как:

а) $x_n:=(-1)^n$. Тогда $\lim\sup_n x_n=1$, а $\lim\sup_n A_n=(-\infty,1)$. Здесь последовательность супремумов $(\sup_{k\ge n}\{x_k\})$ постоянна.

б) $x_n:=\frac{(-1)^n}{n}$. Тогда $\lim\sup_n x_n=0$, а $\lim\sup_n A_n=(-\infty,0]$. Здесь последовательность супремумов $(\sup_{k\ge n}\{x_k\})$ убывает.

Заметим, что в общем последовательность супремумов $(\sup_{k\ge n}\{x_k\})_{n\in\mathbb{N}}$ невозрастает.

Таким образом, если $\lim\sup_n x_n=x$, то $\lim\sup_n A_n$ есть либо множество $(-\infty,x)$ либо $(-\infty,x]$.

Причиной этому является по-видимому следующее:

Пусть $y\in\lim\sup_n A_n=\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}A_k$, т.е. для всех $n$ существует такой индекс $k_n\ge n$, что $y<x_k$.
Пусть $\lim\sup_n x_n=\lim_{n\to\infty}\sup_{k\ge n}\{x_k\}=x$. Для $(\sup_{k\ge n}\{x_k\})_{n\in\mathbb{N}}$ построим подпоследовательность (которая, очевидно, будет сходиться к тому же пределу) следующим образом:
Для каждого $n$ определим $k_{n}^0:=\min\{k_n:y<x_k\}$. При этом видно, что $k_n^0\le k_{n+1}^0$.
Тогда можно сказать, что для всех $n$ существует $k_{n}^0$ такой, что $y<x_{k_{n}^0}$. Далее выполняется $x_{k_{n}^0}\le\sup_{m\ge k_{n}^0}\{x_m\}$.
Таким образом, мы имеем такую невозрастающую сходящуюся подпоследовательность супремумов $(\sup_{m\ge k_n^0}\{x_m\})_{n\in\mathbb{N}}$, что $y\in\bigcap_{n=1}^{\infty}(-\infty,\sup_{m\ge k_n^0}\{x_m\})$. В силу невозрастания членов этой последовательности множества, входящие в пересечение, образуют невозрастающую последовательность.

Теперь, может случиться, что для всех $n$ будет $\sup_{m\ge k_n^0}\{x_m\}>x$. Тогда стоящее выше счётное пересечение даст множество $(-\infty,x]$. (Пример б))
Но может получиться и то, что для всех $n$ (за исключением, быть может, конечного их числа) будет $\sup_{m\ge k_n^0}\{x_m\}=x$. В этом случае рассмотренное пересечение даст множество $(-\infty,x)$. (Пример а))

Кажется так...