найти предел последовательности с помощью интегралов...

[PreVory]

подскажите как решить:
С помощью определённых интегралов найти предел числовой последовательности $s_n=\dfrac{\sqrt[n]{n!}}{n}$
Просто найти предел могу, получается $e^{-1}$ ,а как интегральныю сумму построить не понимаю. Подскажите пожалуйста как решить или где можно про это прочитать.

[gris]

Может быть найти предел от логарифма? Там сумма логарифмов получается. Или с помощью Стирлинга.

[ИСН]

"Как сделать взрывчатку с помощью стирального порошка? - Отставить в сторону и делать без него."
Формулировка задачи в эту сторону бессмысленна, а так-то да, надо мутить с логарифмом.

[id]

По-моему, если логарифмироваться $s_n = ( \frac {n!} {n^n})^{\frac 1 n} = (\frac 1 n \frac 2 n \dots \frac n n)^{\frac 1 n}$ что-то похожее на интегральную сумму логарифма от $0$ до $1$ как раз и вылезет...

[PreVory]

ну если рассматривать новую последовательность $X_n=ln S_n$ то для неё получается некоторая сумма, но если перейти от неё к интегралу, то он будет несобственный:

$$\int_{0}^{1} ln(t) dt$$

Как в таком случае перейти от суммы к интегралу? ведь проблема в том, что в близи 0 функция не ограничена.
Ну а если рассматривать исходную последовательность, то там сумма вроде не вытаскивается.

[ewert]

PreVory в сообщении #322208 писал(а):

но если перейти от неё к интегралу, то он будет несобственный:

Откиньте последнее слагамое. Оставшаяся сумма асимптотически равна исходной и при этом зажата (вследствие монотонности логарифма) между интегралами по $[0;\frac{n-1}{n}]$ и по $[\frac{1}{n};1]$, которые стремятся к интегралу по $[0;1]$.

[PreVory]

Чтото я не очень понимаю почему она зажата, она же не является верхней/нижней суммой Дарбу?

[paha]

PreVory в сообщении #322208 писал(а):

то он будет несобственный:

$$\int_{0}^{1} ln(t) dt$$

несобственный, но сходящийся... и будет равен тому, что надо

[ewert]

PreVory в сообщении #322746 писал(а):

почему она зажата, она же не является верхней/нижней суммой Дарбу?

Именно Дарбу и является. Верхней суммой Дарбу для интеграла по $[0;\frac{n-1}{n}]$ и нижней суммой Дарбу для интеграла по $[\frac{1}{n};1]$. (Правда, для первого отрезка не существует нижней суммы; ну и не надо.)

[PreVory]

paha в сообщении #322758 писал(а):

несобственный, но сходящийся... и будет равен тому, что надо

хм..а как доказать что он будет сходящимся?

ewert в сообщении #322758 писал(а):

Именно Дарбу и является. Верхней суммой Дарбу для интеграла по и нижней суммой Дарбу для интеграла по . (Правда, для первого отрезка не существует нижней суммы; ну и не надо.)

Мне кажется, что тут проблема в пределах интегрирования. Если я зафиксирую n то для конкретного интеграла это выражение будет являться суммой дарбу для конкретного разбиения, но тогда ранг этого разбиения не будет стремиться к 0.

[ewert]

PreVory в сообщении #322954 писал(а):

хм..а как доказать что он будет сходящимся?

Просто посчитать -- это будет $(x\,ln x-x)\Big|_0^1$, причем предел в нуле существует и равен нулю.

PreVory в сообщении #322954 писал(а):

но тогда ранг этого разбиения

Да забудьте Вы про ранг. Оценивается сумма через интегралы --? да, оценивается, в силу монотонности подынтегральной функции. И вот этих неравенств -- и достаточно.

[paha]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #322959 писал(а):

$(x\,ln x-x)\Big|_0^1$

ай-яй-яй))) $\ln$^)))

[ewert]

(Оффтоп)

кто такой галочка?...

[paha]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #323056 писал(а):

кто такой галочка?...

это носик у смайлика ^)

в другой раскладке там глазки.. а можно и совмещать :^)

[ewert]

(Оффтоп)

а-а, понял, это из-за проблем с клавиатурой, пока вобьешь заведомо пропускаемые значки -- про слэш забывается