Топологическая размерность "только для связных"?

[paha]

AlexDem в сообщении #322455 писал(а):

А как доказать непрерывность?

Как доказать непрерывность на ${\mathbb R}\times{\mathbb R}^d$ функции $f(t,{\bf r})=t^2-{\bf r}^2$??? ну, или любой ветви $\sqrt{t^2-{\bf r}^2}$...

-- Пт май 21, 2010 19:54:46 --

с другой стороны, далеко ушли от темы)))

Еще раз скажу: правило $D_T$ из темы и рядом с (топологической) размерностью не стояло

[AlexDem]

Не знаю, надо подумать, ерунда какая-то получается. Оба пространства плоские, если есть непрерывность, то вроде как должны совместиться тогда, а гомеоморфизма нет. Насчёт захвата темы - я согласен, пора прекращать безобразие

[paha]

(Оффтоп)

AlexDem в сообщении #322561 писал(а):

есть непрерывность, то вроде как должны совместиться тогда, а гомеоморфизма нет

некоторое отображение $X\times X\to \mathbb{R}$ непрерывно... при чем тут гомеоморфизм? кого с кем?-)

[AlexDem]

(Оффтоп)

Дело не в определении. Присваиваем всем точкам координаты $t$ и $r$, и будем рассматривать малые их изменения. Пусть эти малые изменения аргумента по "метрике" Минковского влекут малые изменения результата. Но по евклидовой метрике - имеем то же самое. Непонятно, почему тогда системы окрестностей в том и другом случае не совпадают с учётом того, что оба пространства без края и кривизны, одной размерности (под вторым пространством я понимаю то, которое порождается собственно "метрикой" Минковского).

[paha]

(Оффтоп)

В топологии $\Omega_M$, которая

AlexDem в сообщении #322595 писал(а):

порождается собственно "метрикой" Минковского

(т.е. предбазой служат множества $U_{t_0,r_0,a}=\{(t,r)\,:\,(t-t_0)^2-(r-r_0)^2<a)\}$)

навскидку нет ни одного ограниченного (в смысле ТВП) непустого открытого множества, поэтому такая топология заведомо слабее евклидовой $\Omega_E$

вот к примеру заклинание, опровергающее непрерывность тождественного отображения $({\mathbb R}^{d+1},\Omega_M)\to ({\mathbb R}^{d+1},\Omega_E)$:

при $\varepsilon=1$ $\forall \delta>0$ $\exists (t_\delta,r_\delta)$ т.ч. $t_\delta^2-r_\delta^2<\delta$ и $t_\delta^2+r_\delta^2\ge 1$

[AlexDem]

(Оффтоп)

paha, у меня не получается, что топология Минковского слабее, а просто другая, т.к. евклидова метрика в пространстве Минковского не получается непрерывной. Хотя ошибку в своём рассуждении я понял, спасибо.

Если так, то это приведёт к тому, что если мы спроектируем евклидово пространство на Минковского с помощью того же тождественного отображения, то увидим лишь "тень", которая не позволит отличить некоторые большие перемещения в евклидовом пространстве от малых.

Рассматривать квадрат метрики вместо неё самой как-то тоже не хорошо. В комплексном случае, например, функция $d(t, r) = u(t, r) + iv(t, r)$ не получается дифференцируемой в точках $t = r$.

Если я наврал и paha решит меня поправить, просьба модераторам отделить сообщения с конца первой страницы в другую тему.

[paha]

(Оффтоп)

AlexDem в сообщении #322688 писал(а):

paha, у меня не получается, что топология Минковского слабее, а просто другая

Она именно слабее $\Omega_M\subset\Omega_E$

AlexDem в сообщении #322688 писал(а):

Рассматривать квадрат метрики вместо неё самой как-то тоже не хорошо. В комплексном случае, например, функция $d(t, r) = u(t, r) + iv(t, r)$ не получается дифференцируемой

Нам не нужна дифференцируемость, только непрерывность

[AlexDem]

(Оффтоп)

Написал сперва ответ - стёр, он был неверный.

paha в сообщении #322726 писал(а):

Она именно слабее $\Omega_M\subset\Omega_E$

Это зависит от того, будет ли тождественное отображение непрерывно в обратную сторону. Идея ясна: малым приращениям в пространстве Минковского могут соответствовать совсем не малые приращения по метрике Евклида. Это действительно очевидно. Теперь нужно, чтобы малым приращениям в евклидовом пространстве соответствовали малые - по "метрике" Минковского. А здесь всё зависит от того, как обойтись с комплексными значениями. Комплексный интервал между $(t_0, x_1)$ и $(t_0, x_2)$ - он маленький или большой с учётом того, что реально из одной точки в другую не попасть? (это я физику приплёл)

Если делать формально, то приращения $d(t, r) = u(t, r) + iv(t, r)$ должны быть малы по каждому из аргументов - в комплексном случае приращение первой компоненты - нулевое, а второй - какое? Можно ли здесь на комплексных числах вводить порядок?

[paha]

(Оффтоп)

AlexDem в сообщении #322786 писал(а):

Это зависит от того

она слабее, это ни от чего не зависит

AlexDem в сообщении #322786 писал(а):

малым приращениям в пространстве Минковского

я боюсь, что топология $\Omega_M$ неметризуема, поэтому приращений нет никаких

[AlexDem]

(Оффтоп)

paha в сообщении #322795 писал(а):

она слабее, это ни от чего не зависит

А как это понять? Откуда это следует?..

[paha]

AlexDem в сообщении #322799 писал(а):

paha в сообщении #322795 писал(а):
она слабее, это ни от чего не зависит

А как это понять? Откуда это следует?..

Строгость включения следует из

paha в сообщении #322623 писал(а):

при $\varepsilon=1$ $\forall \delta>0$ $\exists (t_\delta,r_\delta)$ т.ч. $t_\delta^2-r_\delta^2<\delta$ и $t_\delta^2+r_\delta^2\ge 1$

[AlexDem]

Так там функция не та взята была... Непонятно, почему тогда пространство по квадрату метрики Минковского и по самой метрике - то же самое

[paha]

AlexDem в сообщении #322815 писал(а):

ак там функция не та взята была... Непонятно, почему тогда пространство по квадрату метрики Минковского и по самой метрике - то же самое

нету там никакой метрики, есть открытые множества

[Профессор Снэйп]

Цитата:

исключением из него как минимум $D_T$-мерного множества точек

Что значит "как минимум" (выделение моё). Поясните точный смысл, если не трудно. Имеется в виду, что удаление любого множества точек меньшей размерности оставляет пространство связным? Или что-то другое?