Система нелинейных уравнений

[Sega611]

Здравствуйте. Помогите, пожалуйста, решить систему

$\left \{ \begin {array}{I}y_0x_2x_3+y_1+2y_2x_1=0\\y_0x_1x_3+y_1+2y_2x_2=0\\y_0x_1x_2+y_1+2y_2x_3=0\\x_1+x_2+x_3=2\\x_1^2+x_2^2+x_3^2=4\end{array} \right$

Переменные: $x_1,x_2,x_3,y_0,y_1,y_2$, и $y_0,y_1,y_2$ не должны одновременно равняться нулю.

Я начал рассматривать случаи, когда $y_0=0$, $y_1=0$ и $y_2=0$.

1 случай:
Пусть $y_0=0$, тогда получил систему

$\left \{ \begin {array}{I}y_1+2y_2x_1=0\\y_1+2y_2x_2=0\\y_1+2y_2x_3=0\\x_1+x_2+x_3=2\\x_1^2+x_2^2+x_3^2=4\end{array} \right$

Из первых трех выразил $x_1,x_2,x_3$ и подставил их в 4 и 5 уравнения

$\left \{ \begin {array}{I}x_1=\frac {-y_1}{2y_2}\\x_2=\frac {-y_1}{2y_2}\\x_3=\frac {-y_1}{2y_2}\\\frac {-3y_1}{2y_2}=2\\\frac {3y_1^2}{4y_2^2}=4\end{array} \right$

Из 4-го выразил $y_1$, а из 5-го - $y_1^2$

$y_1=\frac {-4y_2}{3}$
$y_1^2=\frac {16y_2^2}{3}$

Подставил $y_1=\frac {-4y_2}{3}$ в $y_1^2=\frac {16y_2^2}{3}$, получилось

$\frac {16y_2^2}{9}=\frac {16y_2^2}{3}$
$\Rightarrow y_2=0 \Rightarrow y_1=0$

Получил противоречие для "$y_0,y_1,y_2$ не должны одновременно равняться нулю". Значит $y_0\neq0$

2 случай:
Пусть $y_2=0$, тогда

$\left \{ \begin {array}{I}y_0x_2x_3+y_1=0\\y_0x_1x_3+y_1=0\\y_0x_1x_2+y_1=0\\x_1+x_2+x_3=2\\x_1^2+x_2^2+x_3^2=4\end{array} \right$

Здесь начал приравнивать друг к другу уравнения с 1-го по 3-е

$\left \begin {array}{I}y_0x_2x_3=y_0x_1x_3 \Rightarrow x_2=x_1\\y_0x_2x_3=y_0x_1x_2 \Rightarrow x_3=x_1\\y_0x_1x_3=y_0x_1x_2 \Rightarrow x_3=x_2\\x_1+x_2+x_3=2\end{array} \right \} \Rightarrow x_1=x_2=x_3=\frac{2}{3}$

Подставил найденные $x_1,x_2,x_3$ в $x_1^2+x_2^2+x_3^2=4$ и получил противоречие $3 \left ( \frac{2}{3} \right ) ^2 \neq 4$, значит $y_2\neq0$.

3 случай:
Пусть $y_1=0$, тогда

$\left \{ \begin {array}{I}y_0x_2x_3+2y_2x_1=0\\y_0x_1x_3+2y_2x_2=0\\y_0x_1x_2+2y_2x_3=0\\x_1+x_2+x_3=2\\x_1^2+x_2^2+x_3^2=4\end{array} \right$

И тут мне в голову ничего не приходит. Что здесь можно сделать? И правильны ли мои рассуждения?

[sergey1]

Сложите 3 первых уравнения.

[Sega611]

Что-то не то получается

$y_0(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)+4y_2=0$
$y_0(2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3)+8y_2=0$
$2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3=(x_1+x_2+x_3)^2-(x_1^2+x_2^2+x_3^2)=4-4=0$
$8y_2=0$
$y_2=0$

А ведь по 2 случаю $y_2 \neq 0$.

[sergey1]

Не рассматривайте эти случаи.
Вы сложите 3 первых уравнения первоначальной системы, вынесите игреки за скобки,а затем воспользуйтесь 4-ым и 5-ым уравнением.

[paha]

Последние два уравнения задают сферу и плоскость в $\mathbb{R}^3$, поэтому их решение -- однопараметрическое семейство точек (окружность) $x_i=2/3+a_i\cos{t}+b_i\sin{t}$ (числа $a$ и $b$ найдите сами - это просто)

подставляем в первые три уравнения найденные $x_i(t)$ и решаем с.л.у. относительно $y$ -- нужное значение $t$ получается из условия разрешимости с.л.у.

[12d3]

paha в сообщении #322736 писал(а):

нужное значение $t$ получается из условия разрешимости с.л.у.

Не совсем так. Эта слу разрешима всегда, ибо в правой части нули. Если решение единственно, то это (0;0;0). Такой вариант топикстартеру не подходит. Надо искать, когда система имеет бесконечно много решений.

[paha]

(Оффтоп)

12d3 в сообщении #322740 писал(а):

Не совсем так. Эта слу разрешима всегда, ибо в правой части нули.

)))) глубокомысленно

[VPro]

$x_1=-\frac23, x_2=\frac43, x_3=\frac43$; $x_1, x_2, x_3$ --- перестановочны;
$y_1=-\frac89 y_0, y_2=\frac23 y_0, y_0$ --- любое.

[VPro]

Еще решение:
$x_1=2, x_2=0, x_3=0$, $x_1, x_2, x_3$--- перестановочны;
$y_1=0, y_2=0,$, $y_0$---любое.