Замена переменной

[Padawan]

$dz=z_xdx+z_ydy$. Выражаем отсюда $dx$

$$dx=-\frac{z_y}{z_x}dy+\frac{1}{z_x}dz$$

Следовательно, $x_y=-\dfrac{z_y}{z_x}$, $x_z=\dfrac{1}{z_x}$.

[ИСН]

nevero, получите сначала уравнение для x(y,z). Сначала. Да.

-- Пт, 2010-05-21, 14:47 --

Вон Padawan излагает, как.

[nevero]

А для того, чтобы получить, например, $x^{''}_{zz}$ мы должны ещё раз дифференцировать

$$dz=z_xdx+z_ydy$$

, считая dx функцией:
$d^2z=z_{xx}dx+z_xd^2x+z_{yy}dy$

[Padawan]

$dz_x=z_{xx}dx+z_{xy}dy$. Подставляем сюда $z_x=\dfrac1{x_z}$

$$ -\frac{1}{x_z^2}(x_{yz}dy+x_{zz}dz)=z_{xx}(x_ydy+x_zdz)+z_{xy}dy $$

Дальше приравниваем коэффициенты при $dy$ и $dz$ - это теперь независимые переменные.
Посмотрите в Демидовиче раздел "Замена переменных" (стр. 348).