Метод разделения переменных

[xa3r]

$u_{tt}=u_{xx}$, $0<x<pi$, $t>0$
$u_{x}(0,t)=u_{x}(pi,t)=0$
$u(x,0)=\cos 3x$
$u_{t}(x,0)=\cos 5x$

помогите решить методом Фурье (Метод разделения переменных), в связи с четырьмя годами без математики в универе, подобное тяжело вспомнить с нуля, сейчас я застрял в самом начале
$u(x,t)=X(x)T(t)$

[terminator-II]

ищем собственные функции оператора Лапласа при данных гран условиях

[xa3r]

в том что я читаю по решению методом Фурье, нет ни слова про оператор Лапласа, в чём суть?

[Полосин]

Не оператор Лапласа, а волновой оператор. Подставьте $u$ в исходное уравнение, разделите на $XT$ и приравняйте константе. Затем решите обыкновенные диффенциальные уравнения с учетом граничных условий. Подробнее см., например, Тихонов, Самарский, "Уравнения математической физики".

[terminator-II]

Именно опратор Лапласа. И искать решения исходного уравнения в виде ряда по его собственным функциям с коэффициентами зависящими от $t$. Получится бесконечная система ОДУ на коэффициенты этого ряда.

[xa3r]

как я понимаю
$\frac{X''}{X}=\frac{T''}{T}=-m$
сейчас у меня
$T''+mT=0$
$X''+mX=0$
как это привести к дифурам?

[ИСН]

Это они и есть.
Лямбда! Я назову её лямбда!

[terminator-II]

Решение имеет вид

$u(t,x)=\sum_{k=0}^\infty u_k(t)\cos (kx)$
Ищем $u_k$.

$\cos (kx)$ -- собственные функции оператора Лапласа.

Ну правда в этой задаче все $u_k$ начиная с некоторого $k$ равны нулю.

[xa3r]

оператор Лапласа это?
$\frac{1}{\cos (3x)}+\frac{1}{\cos (5x)}$
иначе я не могу понять, что это

и как вы вышли к
$u(t,x)=\sum_{k=0}^\infty u_k(t)\cos (kx)$?

[V.V.]

Оператор Лапласа в данном случае $\frac{\partial^2}{\partial x^2}$

[ewert]

V.V. в сообщении #322002 писал(а):

Оператор Лапласа в данном случае $\frac{\partial^2}{\partial x^2}$

Но -- непременно с граничными условиями. Операторов без граничных условий -- грубо говоря, не бывает.

[xa3r]

в итоге я получил
$u(x,t)=\sum_{n=0}^\infty 2\cos (4x) \cos (x) \sin (nx)$

[V.V.]

xa3r в сообщении #322058 писал(а):

в итоге я получил
$u(x,t)=\sum_{n=0}^\infty 2\cos (4x) \cos (x) \sin (nx)$

Неверно.

[xa3r]

по алгоритму написанному в книге Самарского, Тихонова. Я после задачи Штурма-Лиувилля
$X''+mX=0$
$X(0)=X(\pi)=0$
начал рассматривать случаи $m$
$m<0$
$m=0$
$m>0$
при первых 2х случаях $X(x)=0$ и как я понял это не... эм... выводило ответ.

при $m>0$ вышло то что граничные условия дают $X(\pi)=D_2 \sin (\sqrt{m\pi})=0$
из чего следовало что $\sqrt{m}=\frac{\pi n}{\pi}$ => $m=n^2$

[ИСН]

Откуда такие граничные условия?