Рекуррентное соотношение

[altro]

Помогите решить следующее рекуррентное соотношение:
$S_1=n-1$
$S_2=S_1-1/S_1$
$S_3=S_2-1/S_2$
.........
$S_i=S_{i-1}-1/S_{i-1}$
.........
$S_n=S_{n-1}-1/S_{n-1}$
Какие вообще способы существуют, применимые к этому соотношению?

[Sonic86]

Есть метод Ньютона для численного решения уравнений. Он описывается рекуррентой формулой $x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$. То есть с его помощью можно анализровать рекуррентности типа $x_{n+1}-x_n=F(x_n)$. Решая уравнение $\frac{f}{f'}=\frac{1}{x}$, получим, что $f(x)=\exp(\frac{x^2}{2})$. Вот теперь строите график функции $f(x)$, берете на нем точку с абсциссой $x=n-1$ и смотрите, куда метод Ньютона Вас уводит (ну в данном случае будете около нуля болтаться).

[Sasha2]

Почему то кажется, что Ваше $\frac{1}{S_n}$ равно вот такой цепной дроби $[n-1, n-1,...,n-1]$.
Если ошибаюсб, пусть старшие товарищи поправят.

[altro]

Численные методы решения - это хорошо, но меня интересует результат в виде формулы, так как это принципиально для дальнейшего решения задачи. Также интересно услышать комментарии по поводу предположения о цепной дроби...

[ewert]

Это не Ньютон. И не цепная, конечно. Это -- метод последовательных приближений (ну или там типа "простых итераций") для уравнения $x=f(x)$, где $f(x)=x-{1\over x}$. Естественно, он разойдётся.

[Sonic86]

ewert писал(а):

Это не Ньютон.

Почему не Ньютон??? Или Вы хотели сказать, что просто итерации проще?

[altro]

Другими словами это рекуррентное соотношение нельзя выразить в конечном виде или нет?

[ИСН]

Вам что надо: именно вот это, когда стартовали с n-1 и сделали ровно n шагов? Тогда - приближённо можно.

[altro]

Интересно получить формулу n-ого члена в замкнутом виде...

[antondm]

Хммм... простите если ошибусь, но такие штуки мы решали разнурами. Очень хорошо решаются. Сейчас точно не вспомню, но разнуры не сильно от дифуров отличались формально.

[antondm]

Я так понял, что здесь нужно решить задачу коши для разностного уравнения первого порядка
$ \Delta y y +1 = 0, y(1) = n-1$. Только вот оно как-то в разностях не очень решается вроде бы.

[altro]

antondm в сообщении #322328 писал(а):

Я так понял, что здесь нужно решить задачу коши для разностного уравнения первого порядка
$ \Delta y y +1 = 0, y(1) = n-1$. Только вот оно как-то в разностях не очень решается вроде бы.

А подробнее можно...

[antondm]

Подробнее так наверно ничего хорошего не выйдет.
$ S(t+1)-S(t) = \Delta y(t)$
Ну и дальше понятно думаю как это уравнение получилось. Но вообще говоря скорее всего ничего хорошего не выйдет. В том смысле не выйдет, что вам не удастся получить хорошую зависимость $S(t)$ те решить его. Оно не линейное да еще и ни под один известный вид уравнений толком не подходит.
Вот ссылка на известные и решенные уравнения или же те про которые хоть что-то известно
http://eqworld.ipmnet.ru/ru/solutions/fe/fe-toc1.htm
Думаю лучше сделать как вам выше сказали - высчитать приближенно. Более ничего не удастся сделать.