Комплексный корень из 1 5-ой степени - выражение

[sasha_vertreter]

Добрый день,

Я ищу значение выражения для $z=e^{i\frac{2\pi}{5}}$:

$1+z+z^2+z^3+5z^4+4z^5+4z^6+4z^7+4z^8+5z^9$.

Мой ответ: $-5e^{i\frac{3\pi}{5}}$. Как утверждается, правильный ответ: $-5e^{-i\frac{3\pi}{5}}$

Мое решение:
так как $z^5=1$, имеем:
$1+z+z^2+z^3+5z^4+4z^5+4z^6+4z^7+4z^8+5z^9=1+z+z^2+z^3+5z^4+4+4z+4z^2+4z^3+5z^4=5+5z+5z^2+5z^3+10z^4=5([1+z+z^2+z^3+z^4]+z^4)<=>$

Выражение в квадратных скобках равно 0, так как это - геометрическая прогрессия со знаменателем $e^{i\frac{2\pi}{5}}$, и значит ее сумма равна $\dfrac{e^{i(4+1)\frac{2\pi}{5}} -1}{e^{i\frac{2\pi}{5}}-1}=\dfrac{0}{e^{i\frac{2\pi}{5}}-1}$ = 0

Возращаясь к прерванному выражению, имеем: $<=>5z^4=5e^{i\frac{8\pi}{5}}=5e^{i\frac{(5+3)\pi}{5}}=5e^{i\pi}e^{i\frac{3\pi}{5}}=-5e^{i\frac{3\pi}{5}}$.

Помогите найти ошибку, пожалуйста!

[Sonic86]

Excel утверждает, что данное выражение равно $5e^{\frac{8 \pi i}{5}}$.

Кстати, алгоритм проверки вычислений. Пусть у Вас есть цепочка $F_1=F_2=...=F_n$. Берете и считаете в Excel все $F_j$, если сможете. Если существует $k:F_k \neq F_{k+1}$, то в формуле $F_k = F_{k+1}$ ошибка.

[VAL]

sasha_vertreter в сообщении #321801 писал(а):

Выражение в квадратных скобках равно 0, так как это - геометрическая прогрессия со знаменателем $e^{i\frac{2\pi}{5}}$, и значит ее сумма равна $\dfrac{e^{i(4+1)\frac{2\pi}{5}} -1}{e^{i\frac{2\pi}{5}}-1}=\dfrac{0}{e^{i\frac{2\pi}{5}}-1}$ = 0

Проще по формулам Виета.

Цитата:

[...]
Помогите найти ошибку, пожалуйста!

Не нашел. Ваш ответ верен.
Так же как и $5e^{\frac{8\pi i}5}$.

[sasha_vertreter]

Спасибо!