да, спасибо за комментарий.
не разобрался пока с редактированием предыдущих сообщений :)
вопрос не точно переписал - там было ещё условие, что сигма-алгебра счетно порождена.
и наверняка подразумевается, что точки (то есть одноточечные множества) измеримы.
тогда сепарабельное, говорят, можно сделать так:

-му непустому множеству

из счетной порождающей алгебры полу-метрику сопоставить
вида
метризовать

счетное всюду плотное множество получим выбирая по точке из каждого

Вот насчет полноты неясно.
при этом нульмерность обеспечена - все

открыто-замкнуты