Наименьшие решения уравнения Ферма в натуральных числах

[tapos]

Уважаемый господин age
Если можно, то формулируйте свои вопросы подробнее, так как я не всегда могу догадаться о том, что же Вы спрашиваете.
Полагаю, что Вы хотели бы знать: почему наименьшие решения для уравнения $x^n + y^n = z^n$ не совпадают с наименьшими решениями уравнения $x^2 + y^5 = z^2$ и уравнения $x^2 + y^5 = z^4$
Отвечаю
Уравнение $x^n + y^n = z^n$ имеет одинаковую степень переменных. Поэтому удается установить порядок следования по величине x < y < z. Это очень важно, так как вначале необходимо обосновать наименьшую величину из трех – в нашем случае это x, а затем необходимо обосновать наименьшую величину y.
В уравнении $x^2 + y^5 = z^2$ и в уравнении $x^2 + y^5 = z^4$ степень переменных различна и поэтому невозможно обосновать и установить порядок следования переменных. Поэтому методы поиска наименьших решений для этих уравнений отличаются от метода поиска наименьших решений для уравнения Ферма. Более того уравнение $x^2 + y^5 = z^2$ имеет еще одно решение 2, 2, 6. Легко проверить: $2^2 + 2^5 = 6^2$. Но решение имеет общий множитель 2. Если сократить на 4, то получим 1 + 8 = 9 или $x^2 + y^3 = z^2$
Однако, степень переменной y уменьшилась с 5 до 3. И поэтому это уравнение не эквивалентно исходному. Как оценивать этот результат я не знаю.
Далее уравнение $x^2 + y^5 = z^4$ имеет решение 7, 2, 3. Или x > z > y, что невозможно для уравнения Ферма.
Любое уравнение всегда либо имеет наименьшее решение, либо не имеет наименьшего решения. Однако способ обоснования наименьшего решения для каждого уравнения свой.
Уравнение $(m +1)^n + (m + 2)^n = (m + 3)^n$ эквивалентно уравнению $x^n + (x + 1)^n = (x + 2)^n$ так как m = x - 1. Соответствующее доказательство приведено в статье.
Представленный Вами пример $95800^4 + 217519^4 + 414560^4 = 422481^4$ ничего не доказывает, так как в обобщенной теореме Ферма для степени n = 4 в левой части уравнения должно быть 4 слагаемых, а не 3.

[Nilenbert]

tapos в сообщении #321495 писал(а):

Представленный Вами пример $95800^4 + 217519^4 + 414560^4 = 422481^4$ ничего не доказывает, так как в обобщенной теореме Ферма для степени n = 4 в левой части уравнения должно быть 4 слагаемых, а не 3.

$$ 955^4+1770^4+2634^4+5400^4=5491^4=909087685468561 $$

Взято отсюда

[age]

tapos

Цитата:

Уважаемый господин age

Если можно, товарищ, до господ мы еще не дотягиваем.

Цитата:

Уравнение $x^n + y^n = z^n$ имеет одинаковую степень переменных. Поэтому удается установить порядок следования по величине x < y < z.

Вы сами привели два примера для неодинаковой степени переменных, для которых тоже удается установить порядок следования по величине x < y < z. Только с той разницей, что в ваших примерах получилось x > z > y. Но вот вам пример $3^5+11^4=122^2$, где x < y < z.

Цитата:

В уравнении $x^2 + y^5 = z^2$ и в уравнении $x^2 + y^5 = z^4$ степень переменных различна и поэтому невозможно обосновать и установить порядок следования переменных. Поэтому методы поиска наименьших решений для этих уравнений отличаются от метода поиска наименьших решений для уравнения Ферма.

Почему невозможно? Вы же сами установили $(b+5,b,b+7)$ и $(b+5,b,b+1)$.

Цитата:

И поэтому это уравнение не эквивалентно исходному. Как оценивать этот результат я не знаю.

Оценивать так, что все что вы написали - неправильно.

Цитата:

Далее уравнение $x^2 + y^5 = z^4$ имеет решение 7, 2, 3. Или x > z > y, что невозможно для уравнения Ферма.

А уравнение $x^5 + y^2 = z^2$ имеет решение 2, 7, 9. Или x > y > z, что возможно для уравнения Ферма.

Цитата:

Уравнение $(m +1)^n + (m + 2)^n = (m + 3)^n$ эквивалентно уравнению $x^n + (x + 1)^n = (x + 2)^n$ так как m = x - 1. Соответствующее доказательство приведено в статье.

Соответствующее ОШИБОЧНОЕ доказательство.

Цитата:

Представленный Вами пример $95800^4 + 217519^4 + 414560^4 = 422481^4$ ничего не доказывает, так как в обобщенной теореме Ферма для степени n = 4 в левой части уравнения должно быть 4 слагаемых, а не 3.

Ну если есть пример для трех слагаемых, то найти для четырех думаю не составит труда. Найдите самостоятельно, мне некогда этим заниматься.

[Лукомор]

tapos в сообщении #321495 писал(а):

Представленный Вами пример $95800^4 + 217519^4 + 414560^4 = 422481^4$ ничего не доказывает, так как в обобщенной теореме Ферма для степени n = 4 в левой части уравнения должно быть 4 слагаемых, а не 3.

В обобщённой теореме Ферма для любой степени $n$ в левой части уравнения должно быть 2 слагаемых, и никак иначе.

[tapos]

Уважаемый господин age
Мы ведем научную дискуссию, правила которой являются правилами настоящего форума. Я всячески стараюсь эти правила соблюдать. Поэтому всегда отвечаю по существу, то есть с обоснованием. Вы же себя не утруждаете такими формальностями, как соблюдение научной этики. Поэтому без какого-либо обоснования заявляете: это неправильно, доказательство ошибочное и т.п.
Я вам на примерах показываю, что методы поиска наименьших решений для различных уравнений различны. Что вовсе не означает того, что применение различных методов должно обязательно давать различные наименьшие решения. Вы же не отрицаете мои аргументы, а спрашиваете непонятно о чем.
Извольте соблюдать научную этику и вести научную дискуссию – задав вопрос и получив ответ необходимо вначале опровергнуть ответ, а затем задавать вопрос. Иначе получается так: я Вам говорю об одном, а Вы мне говорите о другом и так до бесконечности. Это не научная дискуссия а говорильня.
Тема настоящей дискуссии: наименьшие решения уравнения Ферма в натуральных числах. Поэтому я, вообще-то, не должен искать решения других уравнений (не уравнения Ферма). Я искренне надеялся, что Вам что-то непонятно в обсуждаемой теме. К сожалению, я ошибался. Вы пытаетесь выяснить: какие еще методы поиска наименьших решений мне известны. Отвечаю: после опубликования других известных мне методов поиска наименьших решений я выложу эти методы на этом форуме.

[Виктор Ширшов]

podast в сообщении #321056 писал(а):

К сведению, уравнение с неизвестными больше 3 в степени больше 2 элементарно решается в целых положительных (натуральных) числах!!! И этому есть доказательство.

Предполагаю, у Вас. Уверяю Вас, что в натуральных числах уже квадрат нельзя разложить на несколько квадратов ($\geqslant2$), если, к примеру, $a+b+c+d=k$.

-- Чт май 20, 2010 18:01:00 --

Лукомор в сообщении #321868 писал(а):

В обобщённой теореме Ферма для любой степени $n$ в левой части уравнения должно быть 2 слагаемых, и никак иначе.

Лукомор. Я буквально через пост говорю об этом.

[age]

tapos
Если вы действительно ратуете за то, чтобы дискуссия приняла научный вид с соблюдением "научной этики" (в кавычках), то и вам придется отвечать на все поставленные Вам вопросы. Ответы на которые я не видел. Раз вы не понимаете то, что я вам написал, то вопросы буду ставить в явном виде.

Вопрос №1: вы пишете:

Цитата:

Уравнение $x^n + y^n = z^n$ имеет одинаковую степень переменных. Поэтому удается установить порядок следования по величине x < y < z.

Т.е. порядок следования по величине x < y < z вы устанавливаете из того, что в уравнении степени имеют одинаковое значение. Следовательно, если степени имеют неодинаковое значение, то

Цитата:

В уравнении $x^2 + y^5 = z^2$ и в уравнении $x^2 + y^5 = z^4$ степень переменных различна и поэтому невозможно обосновать и установить порядок следования переменных.

Вы пишите, что порядок следования переменных установить невозможно. Я вам привожу несколько контрпримеров:
$2^5+7^2=9^2$
$3^5+11^4=122^2$
в которых порядок следования переменных тот же, что и в уравнении с одинаковыми степенями. Т.е. его установить ВОЗМОЖНО. и он НЕ ЗАВИСИТ от одинаковости переменных. Что противоречит написанному вами. Ответа я так и не увидел. Как ответите на этот вопрос перейдем к вопросу №2.

[r-aa]

tapos в сообщении #306599 писал(а):

Если предположить, что c^n не изменяется, то разность c^n - a^n достигает наименьшего значения при максимальной величине a^n. Поскольку c и a являются натуральными числами и c > a, то максимальное значение a равно c - 1 или c - a = 1. Следовательно:
(15) c - a = 1

С этого места неверно.
Это верно только если мы ищем
наименьшее значение функции $f(a) = c^n - a^n, \ c,n \in \mathbb{N}$ на множестве $\{a \ | \ a \in \mathbb{N}, \ a < c \}$.
Но нам нужно
наименьшее значение функции $f(a) = c^n - a^n, \ c,n \in \mathbb{N}$ на множестве $\{a \ | \ a \in \mathbb{N}, \ a < c, \ \sqrt[n]{c^n - a^n} \in \mathbb{N} \}$.

[age]

tapos

Цитата:

Цитата:

И поэтому это уравнение не эквивалентно исходному. Как оценивать этот результат я не знаю.

Оценивать так, что все что вы написали - неправильно.

Вернее, я тут немного прямолинейно выразился. Извините. Правильнее так:
оценивать так, что связи между порядком переменных и характером степеней (одинаковые или различные) - либо нет вообще, либо есть, но совсем не в том виде, который указан вами. (я уже молчу что все тезисы, представленные вами бездоказательны и приводятся либо потому что вам так кажется, либо как аксиомы)

[Бодигрим]

Цитата:

Таким образом, возникает вопрос о разрешимости обобщенного уравнения Ферма:
$a^n _1 + a^n _2 + … + a^n _{n-1} + a^n _n = c^n$
...
Для остальных показателей степени о решениях ничего не известно.

Вот как раз в этом месте была бы очень уместна ссылка на литературу (в отличие от свойств биномиальных коэффициентов и аксиом натурального ряда). Но вы этого сделать не можете, поскольку напротив существует множество статей, посвященных найденным решениям соответствующих уравнений.

Случай $n=3$, для которого вы приводите лишь одно частное решение, был принципиально разрешен еще Эйлером. Он нашел параметризацию для всех рациональных решений.

Про $n=4$ Nilenbert уже привел соответствующий пример. В этом случае решений известно довольно много, бывают с числами и поменьше, скажем, $30^4+120^4+272^4+315^4=353^4$.

При $n=5$ известно даже двухпараметрическое семейство решений, вытекающее из полиномиального тождества $ (75v^5-u^5)^5+(u^5+25v^5)^5+(u^5-25v^5)^5 +(10u^3v^2)^5+(50uv^4)^5=(u^5+75v^5)^5 $.

[Виктор Ширшов]

Бодигрим в сообщении #322325 писал(а):

Таким образом, возникает вопрос о разрешимости обобщенного уравнения Ферма:
$a^n_1+a^n_2+...+a^n_{n-1}+a^n_n=c^n$
...
Для остальных показателей степени о решениях ничего не известно

В который раз отмечаю, что подобное уравнение с любым количеством членов не решается в натуральных числах в степени $n\geqslant2$ только в том случае, если в степени $n=1$ было равенство. Оно решается, если изначально ($n=1$) общая сумма была < суммы отдельных членов.

[tapos]

Напоминаю, что речь идет только о натуральных числах.
Рассмотрим следующие неравенства
$x > x - 1$
$x^2 > (x - 1)^2$
$x^3 > (x - 1)^3$
................
$x^n > (x - 1)^n$
Все перечисленные неравенства в натуральных числах соблюдаются.
Поэтому если мы встречаем неравенство $x^n > (x - 1)^n$, то мы немедленно делаем вывод $x > x - 1$.
Первую группу неравенств можно переписать в следующем виде
$x - (x - 1) > 0$
$x^2 - (x - 1)^2 > 0$
$x^3 - (x - 1)^3 > 0$
................
$x^n - (x - 1)^n > 0$
Эти разности являтся наименьшими. Первое в силу натуральности чисел. Предположим, что у нас имеется число $y^n$ большее чем $(x - 1)^n$ но меньшее чем $x^n$
Только при таком предположении разность между степенями может быть еще меньше, чем установлено нами.
$x^n > y^n > (x - 1)^n$
Извлекаем корень n -й степени, получаем
x > y > x - 1
Поскольку речь идет о натуральных числах, то y не имеет решений в натуральных числах. Следовательно, разности между степенями большими 1 являются наименьшими если разность является наименьшей для первой степени.
Эти свойства вытекают из одинаковой величины степени. Поэтому получается однозначное решение.
Рассмотрим следующее неравенство:
$z^2 - y^5 > 0$ или
$z^2 > y^5$
$z^{2/5} > y$
Как видим у нас нет оснований говорить о том, что наибольшее значение y = z - 1
Это связано с несимметричностью последнего неравенства. Отсюда неоднозначность. Отсюда чаще всего следует интервал возможных значений.

[r-aax]

(Оффтоп)

r-aa в сообщении #322263 писал(а):

...

под ником r-aa я зайти не могу, после того как сменил почту, так что буду под этим...

-- Вс май 23, 2010 14:37:21 --

tapos в сообщении #322813 писал(а):

Напоминаю, что речь идет только о натуральных числах.
Рассмотрим следующие неравенства
$x > x - 1$
$x^2 > (x - 1)^2$
$x^3 > (x - 1)^3$
...

То, что наименьшее значение функции $f(a) = c^n - a^n, \ c,n \in \mathbb{N}$ на множестве $\{a \ | \ a \in \mathbb{N}, \ a < c \}$ равно $c - 1$, очевидно, и останавливаться на этом не нужно. Проблема состоит в том, что множество выбрано не верно.

Еще раз:

r-aa в сообщении #322263 писал(а):

tapos в сообщении #306599 писал(а):

Если предположить, что c^n не изменяется, то разность c^n - a^n достигает наименьшего значения при максимальной величине a^n. Поскольку c и a являются натуральными числами и c > a, то максимальное значение a равно c - 1 или c - a = 1. Следовательно:
(15) c - a = 1

С этого места неверно.
Это верно только если мы ищем
наименьшее значение функции $f(a) = c^n - a^n, \ c,n \in \mathbb{N}$ на множестве $\{a \ | \ a \in \mathbb{N}, \ a < c \}$.
Но нам нужно
наименьшее значение функции $f(a) = c^n - a^n, \ c,n \in \mathbb{N}$ на множестве $\{a \ | \ a \in \mathbb{N}, \ a < c, \ \sqrt[n]{c^n - a^n} \in \mathbb{N} \}$.

[tapos]

r-aax в сообщении #323022 писал(а):

(Оффтоп)

r-aa в сообщении #322263 писал(а):

...

под ником r-aa я зайти не могу, после того как сменил почту, так что буду под этим...

-- Вс май 23, 2010 14:37:21 --

tapos в сообщении #322813 писал(а):

Напоминаю, что речь идет только о натуральных числах.
Рассмотрим следующие неравенства
$x > x - 1$
$x^2 > (x - 1)^2$
$x^3 > (x - 1)^3$
...

То, что наименьшее значение функции $f(a) = c^n - a^n, \ c,n \in \mathbb{N}$ на множестве $\{a \ | \ a \in \mathbb{N}, \ a < c \}$ равно $c - 1$, очевидно, и останавливаться на этом не нужно. Проблема состоит в том, что множество выбрано не верно.

Еще раз:

r-aa в сообщении #322263 писал(а):

tapos в сообщении #306599 писал(а):

Если предположить, что c^n не изменяется, то разность c^n - a^n достигает наименьшего значения при максимальной величине a^n. Поскольку c и a являются натуральными числами и c > a, то максимальное значение a равно c - 1 или c - a = 1. Следовательно:
(15) c - a = 1

С этого места неверно.
Это верно только если мы ищем
наименьшее значение функции $f(a) = c^n - a^n, \ c,n \in \mathbb{N}$ на множестве $\{a \ | \ a \in \mathbb{N}, \ a < c \}$.
Но нам нужно
наименьшее значение функции $f(a) = c^n - a^n, \ c,n \in \mathbb{N}$ на множестве $\{a \ | \ a \in \mathbb{N}, \ a < c, \ \sqrt[n]{c^n - a^n} \in \mathbb{N} \}$.

$b^n + a^n = c^n$ откуда следует $b^n = c^n - a^n$
Если $a^n$ является наибольшей величиной, то $c^n - a^n$ является наименьшей величиной независимо от того изменяется или не изменяется по величине число c и, следовательно $b^n$ является наименьшей величиной в силу равенства $b^n = c^n - a^n$
Откуда следует, что и число b является наименьшей величиной в силу однозначности извлечения корня для натуральных чисел.
Поскольку для определенности мы положили b < a < c, то первым мы искали наименьшее значение числа b. Оказалось, что число b принимает наименьшее значение при c - a = 1.
Теперь необходимо найти найменьшее значение числа a при условии, что наименьшее значение числа b уже найдено.
$a^n = c^n - b^n$
Наименьшее значение число a достигает при максимальном значении числа b и, соответственно, числа $b^n$.
Максимальное значение $b^n$ достигается при c - b =1. Откуда следует a = b. Такое равенство недопустимо, так как у нас все три числа a, b, c различны по величине. Следовательно c - b = 2. Это следующее натуральное число наиболее близкое к числу c.
Обосновывать наименьшее значение числа c нет необходимости, поскольку сумма двух натуральных чисел, равно как и сумма двух степеней натуральных чисел, может быть равна только одному натуральному числу.

[venco]

tapos в сообщении #323424 писал(а):

Если $a^n$ является наибольшей величиной, то $c^n - a^n$ является наименьшей величиной независимо от того изменяется или не изменяется по величине число c

Это верно только если величины $c$ и $a$ независимы. Т.е. множество значений $c$ одинаково для всех допустимых значений $a$. Для ВТФ это не так. Точнее, вы этого не доказали.