Доказать

[likusta]

Как можно доказать, что максимальная площадь прямоугольника вписанного в прямоугольный треугольник является половиной площади треугольника.

[maikle]

Не зная основ планиметрии и формул - никак.

[ИСН]

Завернуть ему углы вовнутрь, и прямоугольник окажется покрыт ровно дважды.

[Sasha2]

Поставьте треугольник на катет $b$ и параллельно ему из точки, отстоящей на расстоянии $x$ от вершины прямого угла проведите прямую, параллельную этому катету b.
Из подобия легко получить, что $\frac{a-x}{a}=\frac{y}{b} $($y$ здесь это вторая сторона Вашего четырехугольника, первая - это $x$).
Тогда $S=\frac{b}{a}x(a-x)$. $\frac{b}{a}$ - эта лирика, которую можно опустить, а экстремум квадратного тречлена $x(a-x)$ - он и в Африке экстремум.

[arqady]

Sasha2 в сообщении #321503 писал(а):

Поставьте треугольник на катет $b$ и параллельно ему из точки, отстоящей на расстоянии $x$ от вершины прямого угла проведите прямую, параллельную этому катету b.

А что если прямоугольник вписан по-другому? Может, там и площадь будет по-больше?

[Sasha2]

Он не может быть вписан по-другому.
Но если Вы хотите, то можно начать текст задачи и таким образом "прислоните катет $b$ к вертикальной стенке", а далее по тексту.

[arqady]

Sasha2 в сообщении #321606 писал(а):

Он не может быть вписан по-другому.

Вы уверены?

[Sasha2]

Ну Вы наверно имеете ввиду такое вписывание, когда одной из сторон вписанного четырехугольника является часть гипотенузы.
Ну такое обычно и не рассматривается, хотя можно, конечно, и этот случай рассмотреть.

-- Ср май 19, 2010 21:54:12 --

И опять же получается и в этом случае точно такой же рузультат. все тот же трехчлен $\frac{b}{a}x(x-a)$

Так что теперь да уверен.