Найти мат. ожидание и построить мартингал

[Ras4ipyrk]

Задана формула $ e^{\lambda t + \mathrm{N}^{\lambda}_{t}} $ ,
где $\mathrm{N}^{\lambda}_{t}$ является Пуассоновским процессом. То есть $\lambda$ и t стандартные параметры Пуассоновского процесса.

Нужно как нибудь преобразовать эту формулу так, чтобы она стала мартингалом.

Есть идея разделить ее на математическое ожидание показателя.
Вот только встал вопрос как найти это мат ожидание?

[Ras4ipyrk]

Чуть чуть разобрался и понял, чтон ужно найти мат.ожидание не от показателя, а от всей этой формулы.
Вот только передо мной встал вопрос, как найти ма. ожидание?
Подскажите, пожалуйста.)

[Хорхе]

Его найти легко, учитывая, что распределение $\mathrm N_t^\lambda$ известно (у Вас должно получиться $\exp\{t(\lambda-1)\}$).

[Ras4ipyrk]

Спасибо, сейчас буду пробовать.)

[Ras4ipyrk]

Так, нашел)
Теперт решая, возник вопрос, как доказать, что полученной процесс, который задается формулой в первом сообщение поделянный на мат ожидание будет мартингалом.

Мат. ожидание этого всего будет меньше бесконечности, а дальше?

[Ras4ipyrk]

Все, я окончательно запутался.
Сейчас приведу то, что я понял и как я понял.
$ e^{\lambda t - \mathrm{N}_{t}^{\lambda}$ (1), где N это пуассоновский процесс.
Мне по задаче нужно с этим процессом, который описывается формулой один, что нибудь сделать, чтобы он стал мартингалом.
В начале темы я случайно не тот знак поставил, плюс вместо минуса.

Я предлагаю, поделить (1) на мат. ожидание этого процесса.

$\mathbf{E}e^{\mathrm{N}_{t}^{\lambda}}=\sum_{k = 0}^\infty e^{-k} \frac {(\lambda t)^k} {k !} e^{-\lambda t} = e^{-a t + \frac {a t} e $
И какое будет тогда мат. ожидание $ e^{\lambda t}$
Прав ли я или надо как то по другому считать?
И у кого какие мысли еще есть по поводу того, как превратить в мартингал!?

P.s. Сильно ногами не пинайте так, как теории вероятности, еще небыло и все приходится читать самому с нуля.

[Хорхе]

Да, я что-то не то насчитал. Но и у Вас что-то непонятное... Ага, понятное: минус пропущен под знаком мат. ожидания в последнем равенстве и вместо $\lambda$ написано $a$ справа. $e^{\lambda t}$ -- постоянная, ее можно всяко выносить. А в мартингал оно именно так и превращается, как Вы предлагаете, -- делением на мат. ожидание.

[Ras4ipyrk]

Да, Вы правы. Я там немного описался.
В итоге я получаю процесс $e^{\lambda t - N - \frac {\lambda t} {e}}$, который является мартингалом. Это очевидно с точки зрения логики, а вот как это доказать формально.

Я так понимаю, нужно, чтобы выполнились эти свойства
$\mathsf{E}|X_t| < \infty, \quad t \in T$
$\mathsf{E}[X_t \mid \mathcal{F}_s] = X_s, \quad \forall s,t\in T,\; s \le t$

Но как их строго доказать? Сразу подступится к ним тяжело, не решал даже близко похожих задач.

[Хорхе]

Распишите $N_t = N_s + (N_t - N_s)$ и воспользуйтесь независимостью приращений.

[Ras4ipyrk]

Так, хорошо. А теперь встает ключевой вопрос.
$ S_t = e^{\lambda t - \mathrm{N} - \frac{\lambda t}{e}}$ процесс цен акций
$B_t$ банковский счет постоянен.
Нужно доказать, что такая модель рынка будет безарбетражна.
У меня не получается, единственное, что я в конце концов доказал то, что $ S_t = e^{\lambda t - \mathrm{N} - \frac{\lambda t}{e}}$ будет мартингалом.

[Хорхе]

Ну тогда и дисконтированный капитал (почти) любой самофинансируемой стратегии является мартингалом. Собственно, и арбитража не будет.

[Ras4ipyrk]

Так.
Прочитав 2 том Ширяева, главу "Теория арбитража. Непрервыное время."
Там все основана на семимартингалах. Я правильно понимаю, что у нас как раз он и есть( нерерывен справа и имеет предел слева...)!?

Но прочитав я так и не понял какой теоремой следует воспользоваться!?
И как строго доказать отсутствие арбитража, смущает почти.

[Хорхе]

Например, теорема 2 параграфа 2b. Начинать, впрочем, надо с параграфа 2а, где разъясняются сложности, возникающие в непрерывных моделях и описываются классы допустимых стратегий.

[Ras4ipyrk]

Я наконец то понял, что от меня требуют.
В ссылке лежат три страницы из книжки. Там как раз и решена похожая задача. Нужно сделать примерно как там=)) http://ifolder.ru/18086469

В итоге я дочитал до 2 страницы (или 99) и с этого момента непонял, как он доказал, что стратегия будет мартингалом.

Из всего этого можно подытожить. Имеем функцию $S_t = e^{\lambda t - N - \frac{\lambda t}{e}}$, которая будет мартингалом.
Дальше для того, чтобы доказать безарбетражность нужно доказать, что стратегия будет мартингалом. Тут незнаю.
Зачем он "исключает арбитражность такого рода" и доказывает мартингальность?
Как он это делает, непонятно само доказательство на начале 99 страницы.

[Хорхе]

Какой-то cтранный текст. Формула для $X_t$ --- формула недисконтированного капитала. Хотя дальше понятно, что имелся в виду дисконтированный капитал. Впрочем, сейчас ставка равна нулю, и это одно и то же (второй интеграл равен нуля). Все же все равно непонятно, зачем так писать. Дальше вообще смешное:

Цитата:

Кроме того, предположим, что стратегии таковы, что $X_t$ является мартингалом.

Далее, правда, автор пишет, что, например, ограниченные стратегии подходят. Но зачем переворачивать все с ног на голову?

Далее там какой-то бред, возможно, даже правильный, но единственная его цель --- как можно сильнее запутать читателя. Короче, лучше читать классиков (Ширяева, например).

-- Ср июн 09, 2010 07:29:01 --

Цитата:

Дальше для того, чтобы доказать безарбетражность нужно доказать, что стратегия будет мартингалом. Тут незнаю.
Зачем он "исключает арбитражность такого рода" и доказывает мартингальность?

Не стратегия будет мартингалом, а ее дисконтированный капитал. Впрочем, я об этом уже выше писал. А из мартингальности дисконтированного капитала следует безарбитражность. Как? Читайте у того же Ширяева.