Дифференциальное уравнение

[C0rWin]

Нужно решить уравнение которое выглядит след. образом:
$(1 - x^3 )y'' - x^2 y' + 9xy = 0$
Перебробовал кучу способов и ничего толком не получается. Подскажите хотя бы, что тут лучше сделать. Как вообще к такому подойти?

[Руст]

C0rWin писал(а):

Нужно решить уравнение которое выглядит след. образом:
(1 - x^3 )y'' - x^2 y' + 9xy = 0
Перебробовал кучу способов и ничего толком не получается. Подскажите хотя бы, что тут лучше сделать. Как вообще к такому подойти?

Можно разложить в ряд $y=\sum_n a_nx^n$, что дает решение в виде комбинации двух решений, а коэффициенты получаются из рекурентного соотношения: $a_{n+3}=a_n\frac{n(n-1)+n-9}{(n+3)(n+2)}=a_n\frac{n-3}{n+2}$

[Brukvalub]

Одним из решений этого ур-ния является многочлен $3x^3 - 2$, а второе лин-но независимое решение можно найти по ф-ле Остроградского-Лиувилля, и всякое другое решение будет лин. комбинацией этих двух.

[C0rWin]

А можно по подробнее как имеено Вы нашли это решение? Или это методом простого подбора? Я несколько часов пытался уловить закономерность, для того, что бы найти одно из решений, но так и не получилось... Зная одно решение, воторое можно найти с помощью определителя Вронского, который в свою очередь находиться из формулы Абеля. Но вот как в таком случае найти это решение мне не совсем понятно. Можно пояснить?
Скажем так, долго помучавшись я в итоге пришел к решению Руста, он однако меня теплет надежда, что есть решение которое не включает в себя разложение на ряды.

исправленно чуть позже
Меня тут осенило!!! Если взять за начальные условия a_0=1, a_1=0 то получаем одно из частных решений y_1(x) = 1 - 3/2x^3, а потом можно по предложенному мной выше способу. Только это опять таки полагаясь на разложение в ряд.

[bot]

Brukvalub писал(а):

Одним из решений этого ур-ния является многочлен $3x^3 - 2$, а второе лин-но независимое решение можно найти по ф-ле Остроградского-Лиувилля ...

Или заменой $y=(3x^3 - 2)z$, сохранив линейность уравнения

Цитата:

... и всякое другое решение будет лин. комбинацией этих двух.

[Brukvalub]

C0rWin писал(а):

А можно по подробнее как имеено Вы нашли это решение? Или это методом простого подбора? ...

Все, что Вам необходимо для решения этого уравнения (и про способ подбора частного решения там все написано), разъясняется, например, в параграфе про линейные однородные д.у. с переменнвыми коэффициентами из задачника А.Ф. Филиппова Сборник задач по дифференциальным уравнениям на стр. 62-63, которые Вы можете прочесть здесь: http://www.vilenin.narod.ru/Mm/Books/48/book48_2.pdf