, а не
. Поэтому там, где стоит множество, надо заменить
на
, а не на
Я понял возражение. Но это мы переключаемся на дискуссию о записи.
Главный тезис остается незатронутым: из указанного частного определения функции следует, что единственному элементу соответствует единственный элемент. Поэтому я могу согласится с Вашей поправкой, и с учетом тождества
для единственного
можно записать определение, на мой вгзляд, содержащий тавтологию, но смысл, опять же, в точности сохраняется:
--------------------
Функцией называется соответствие , которое данному элементу из множества сопоставляет некоторый элемент множества . при этом называется областью определения, а — (формальной) областью значений функции . Запись означает, что есть функция, определенная на и принимающая значения в .
----------------------
и не изменится конечная алгебраическая запись:
.
Конечно, Вы пока не соглашаетесь, что это запись не уравнения, а тождества. Хотя по определению тождества это именно тождество. Скажем более общим термином: "равенство", разногласие обойдено, и можно рассуждать дальше.
Вопрос о том, можно ли в математическом высказывании везде понимать под множеством
для единственного
сам элемент
, сделаем отдельным вопросом. Разногласия по нему в рассуждениях нам не помешают.
В пространстве что-то задают уравнения, а не функции.
Я согласен. В пространстве все линии задаются уравнением, а значит, по определению уравнения, для
равенством минимум с двумя функциями, или системой равенств. И для
системой из трех равенств.
-------------------------------
Я предлагаю ради интереса пойти обратным путем. Будем считать, что запись
корректна для функции, и нужно восстановить по ней Ваше определение. Предложу свой ход рассуждений, но у меня ничего не получится. Сначала восстановим термины и составим нужные утверждения:
1. Дана запись функции:
2.
есть запись для переменной (символа) игрек:
3. (формальной) областью значений функции есть множество
элементов
4. Знак
есть символ единственного элемента из область определения функции
.
5. Знак
в записи
должен стать знаком символа некоторого единственного(!) элемента, который сопоставляется некоторому
, но этот символ уже имеет знак
по пункту 4. Противоречие.
6. Определение не может быть построено из-за конфликта между 4. и 5.