Уравнение или тождество?

[errnough]

Xaositect в сообщении #319966 писал(а):

$W\equiv \{w\}$, а не $W\equiv w$. Поэтому там, где стоит множество, надо заменить $W$ на $\{w\}$, а не на $w$

Я понял возражение. Но это мы переключаемся на дискуссию о записи.

Главный тезис остается незатронутым: из указанного частного определения функции следует, что единственному элементу соответствует единственный элемент. Поэтому я могу согласится с Вашей поправкой, и с учетом тождества $W\equiv \{w\}$ для единственного $w$ можно записать определение, на мой вгзляд, содержащий тавтологию, но смысл, опять же, в точности сохраняется:

--------------------
Функцией называется соответствие $f$, которое данному элементу $3$ из множества $\{3\}$ сопоставляет некоторый элемент $y$ множества $Y$. $\{3\}$ при этом называется областью определения, а $Y$ — (формальной) областью значений функции $f$. Запись $f\colon \{3\}\to Y$ означает, что $f$ есть функция, определенная на $\{3\}$ и принимающая значения в $Y$.
----------------------

и не изменится конечная алгебраическая запись: $g(3)=3$.

Конечно, Вы пока не соглашаетесь, что это запись не уравнения, а тождества. Хотя по определению тождества это именно тождество. Скажем более общим термином: "равенство", разногласие обойдено, и можно рассуждать дальше.

Вопрос о том, можно ли в математическом высказывании везде понимать под множеством $W\equiv \{w\}$ для единственного $w$ сам элемент $w$, сделаем отдельным вопросом. Разногласия по нему в рассуждениях нам не помешают.

Xaositect в сообщении #319966 писал(а):

В пространстве что-то задают уравнения, а не функции.

Я согласен. В пространстве все линии задаются уравнением, а значит, по определению уравнения, для $\mathbb{R}^2$ равенством минимум с двумя функциями, или системой равенств. И для $\mathbb{R}^3$ системой из трех равенств.

-------------------------------

Я предлагаю ради интереса пойти обратным путем. Будем считать, что запись $g(a) = 3$ корректна для функции, и нужно восстановить по ней Ваше определение. Предложу свой ход рассуждений, но у меня ничего не получится. Сначала восстановим термины и составим нужные утверждения:

1. Дана запись функции: $g(a) = 3$
2. $g(a)$ есть запись для переменной (символа) игрек: $g(a)\equiv y$
3. (формальной) областью значений функции есть множество $Y$ элементов $y$
4. Знак $3$ есть символ единственного элемента из область определения функции $\{3\}$.
5. Знак $a$ в записи $g(a)$ должен стать знаком символа некоторого единственного(!) элемента, который сопоставляется некоторому $y$, но этот символ уже имеет знак $3$ по пункту 4. Противоречие.
6. Определение не может быть построено из-за конфликта между 4. и 5.

[Xaositect]

Да, я согласен, что равенство $g(3)=3$ полностью задает функцию $g$ на множестве $\{3\}$.

[errnough]

Возьму передышку до вечера... Какой же я бестолковый, что занимаю время других, не в состоянии пояснить коротко, в трех-пяти сообщениях то, что вижу сам.

[errnough]

продолжение... :)

Всю цепочку из шести страниц можно свести к следующему.

Равенство $x+2=5$ сведено к равенству $x=3$. Высказаны два утверждения:

1. равенство $x=3$ есть тождество.
2. равенство $x=3$ есть уравение.

По определению в уравнении по обе части равенства стоят функции, и решения ищутся в пересечении областей определений левой и правой части. Рассмотрена правая часть. Всё согласованное теперь в диаграмме:

$$\xymatrix@=6pt{& & x=3\ar[dd] & & \\\\& & F(x)=\Phi(3) & &\\& f(x)=x\ar[ur] & & g(3)=3\ar[ul]}$$

После столь подробного рассмотрения правой части, достаточно будет сказать, что понимаем левую.

Сначала вопрос: $x=3\;\;$ — тождество? Еще раз, чтобы держать перед глазами, определение уравнения и определение тождества:

• У. является записью задачи о разыскании таких элементов $a$
  нек-рого множества $A$, что $F (a) = \Phi(a)$, где
  $F$ и $\Phi$ — заданные отображения множества $A$ во множество $B$.
  
  
• Совокупность решений данного У. зависит от области $M$ значений,
  допускаемых для неизвестных. У. может не иметь решений в $M$,
  тогда оно наз. неразрешимым в области $M$.Если У. разрешимо, то
  оно может иметь одно или несколько, или даже
  бесконечное множество решений. [...] Если У. имеет решениями все числа
  области $M$, то оно наз. тождеством в области $M$.

Здесь $M$ это пересечение областей определений левой и правой части. Если установить, что уравнение имеет решениями все числа области $M$, то оно наз. тождеством в области $M$. Здесь очевидно, что $M=\{3\}$ и решение единственно и совпадает с $M$.
Заключение: Равенство $x=3$ удовлетворяет определению тождества.

Теперь вопрос, который скорее всего, вызовет возражения. Уравнение или тождество? По определениям из Виноградова следует, что термины "уравнения" и "тождество" в порядке общности расположены линейно, "уравнение" более общий термин:

$$\mbox{уравнение} \longrightarrow \mbox{тождество}$$

иными словами, «тождество, это такое уравнение, что ...». Но я могу привести аргументы, что это приведет к парадоксам. Общность, на мой взгляд, должна быть установлена иначе:

$$\xymatrix@=2pt{& & & \text{равенство}\ar[ddl]\ar[ddr]& & &\\&\\& &\text{уравнение} & & \text{тождество}& &\\}$$

Иными словами, выражение с единственным знаком «=» суть равенство, в котором различают виды: уравнение или тождество. (В моей работе дифференциация еще больше, еще и по знакам).

Этим я обосновал свой тезис: равенство $x=3$ суть тождество.
Вопрос, что задает "уравнение" $x=3$ на плоскости, пока в стороне.

[Xaositect]

errnough в сообщении #320290 писал(а):

продолжение... :)

Всю цепочку из шести страниц можно свести к следующему.

Равенство $x+2=5$ сведено к равенству $x=3$. Высказаны два утверждения:

1. равенство $x=3$ есть тождество.
2. равенство $x=3$ есть уравение.

По определению в уравнении по обе части равенства стоят функции, и решения ищутся в пересечении областей определений левой и правой части. Рассмотрена правая часть. Всё согласованное теперь в диаграмме:

$$\xymatrix@=6pt{& & x=3\ar[dd] & & \\\\& & F(x)=\Phi(3) & &\\& f(x)=x\ar[ur] & & g(3)=3\ar[ul]}$$

Вот именно, решения ищутся в пересечении областей определения, т.е. $\mathbb{R}\cap\mathbb{R} = \mathbb{R}$. И я специально говорил, что $g(3) = 3$ и $g(x)=3$ не одно и то же. Справа стоит функция $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, задаваемая формулой $g(x) = 3$, а не функция $\{3\}\to\mathbb{R}$, задаваемая формулой $g(3) = 3$.

Цитата:

После столь подробного рассмотрения правой части, достаточно будет сказать, что понимаем левую.

Сначала вопрос: $x=3\;\;$ — тождество? Еще раз, чтобы держать перед глазами, определение уравнения и определение тождества:

• У. является записью задачи о разыскании таких элементов $a$
  нек-рого множества $A$, что $F (a) = \Phi(a)$, где
  $F$ и $\Phi$ — заданные отображения множества $A$ во множество $B$.
  
  
• Совокупность решений данного У. зависит от области $M$ значений,
  допускаемых для неизвестных. У. может не иметь решений в $M$,
  тогда оно наз. неразрешимым в области $M$.Если У. разрешимо, то
  оно может иметь одно или несколько, или даже
  бесконечное множество решений. [...] Если У. имеет решениями все числа
  области $M$, то оно наз. тождеством в области $M$.

Здесь $M$ это пересечение областей определений левой и правой части. Если установить, что уравнение имеет решениями все числа области $M$, то оно наз. тождеством в области $M$. Здесь очевидно, что $M=\{3\}$ и решение единственно и совпадает с $M$.
Заключение: Равенство $x=3$ удовлетворяет определению тождества.

Нет, так как областью определения у нас является $\mathbb{R}$, а не $\{3\}$, $x=3$ - это не тождество, так как число 4, например, не является его решением.

Цитата:

Теперь вопрос, который скорее всего, вызовет возражения. Уравнение или тождество? По определениям из Виноградова следует, что термины "уравнения" и "тождество" в порядке общности расположены линейно, "уравнение" более общий термин:

$$\mbox{уравнение} \longrightarrow \mbox{тождество}$$

иными словами, «тождество, это такое уравнение, что ...». Но я могу привести аргументы, что это приведет к парадоксам. Общность, на мой взгляд, должна быть установлена иначе:

$$\xymatrix@=2pt{& & & \text{равенство}\ar[ddl]\ar[ddr]& & &\\&\\& &\text{уравнение} & & \text{тождество}& &\\}$$

Иными словами, выражение с единственным знаком «=» суть равенство, в котором различают виды: уравнение или тождество. (В моей работе дифференциация еще больше, еще и по знакам).

Этим я обосновал свой тезис: равенство $x=3$ суть тождество.
Вопрос, что задает "уравнение" $x=3$ на плоскости, пока в стороне.

Тождество - это частный случай уравнения. Вы, конечно, можете использовать необщеупотребительную терминологию (а это именно вопрос терминологии - мы всегда можем перейти от "уравнение и тождество как его частный случай" к "уравнение - это уравнение, не являющееся тождеством - и тождество", тогда уравнение и тождество будут взаимоисключающими понятиями).

[errnough]

Xaositect в сообщении #320321 писал(а):

решения ищутся в пересечении областей определения, т.е. $\mathbb{R}\cap\mathbb{R} = \mathbb{R}$.

Не могу понять, почему не $\mathbb{R}\cap\{3\} = \{3\}$.
Если одна часть уравнения имеет областью определения один элемент, то область пересечения со второй частью либо пуста, либо один элемент.

Xaositect в сообщении #320321 писал(а):

Вы, конечно, можете использовать необщеупотребительную терминологию

Обратная совместимость для меня приоритет №1. В идеале математический текст должен быть настолько логически безупречным, чтобы парсер текста однозначно вводил бы сканированное изображение в программно-вычислительный комплекс. Конечно, изуродовать имеющиеся общепринятые стандарты записей недопустимо. Дело оказалось хитрым. Не только знаковая неоднозначность для разных объектов была обнаружена (это при таком существующем зоопарке), но и существенная избыточность самих математических объектов. А насчет того, что терминология произвольна в смысле упорядоченности по общности, это ой как легкомысленно...

[Xaositect]

errnough в сообщении #320327 писал(а):

Если одна часть уравнения имеет областью определения один элемент, то область пересечения со второй частью либо пуста, либо один элемент.

Которая из двух частей имеет областью определения один элемент?

[errnough]

$g(3) = 3$

[Xaositect]

Так.
Есть уравнение $x=3$. В нем есть одна переменная, пробегающая множество $\mathbb{R}$. Она и будет общим аргументом двух функций, которые есть в этом уравнении.
Естественной областью определения функции, заданной формулой называется множество значений аргумента, при котором формула имеет смысл.
Формула $x$ имеет смысл при любом действительном $x$, так что в левой части стоит функция с областью определения $\mathbb{R}$, задаваемая равенством $f(x) = x$
Формула $3$ также имеет смысл при любом действительном $x$, так что в левой части стоит функция с областью определения $\mathbb{R}$, задаваемая равенством $g(x) = 3$, а вовсе не функция с областью определения $\{3\}$, которую Вы все хотите туда запихнуть.

Это все - не дискуссионный вопрос. Это вопрос существующих "умолчаний". Любой математик и любой школьник-хорошист поймет это уравнение именно так. Если Вы понимаете его по другому, Вы должны это явно написать, например "рассмотрим уравнение $x=3$ на области $\{3\}$".

[errnough]

Странно... Вы же согласились, что вот так:

--------------------
Функцией называется соответствие $f$, которое данному элементу $3$ из множества $\{3\}$ сопоставляет некоторый элемент $y$ множества $Y$. $\{3\}$ при этом называется областью определения, а $Y$ — (формальной) областью значений функции $f$. Запись $f\colon \{3\}\to Y$ означает, что $f$ есть функция, определенная на $\{3\}$ и принимающая значения в $Y$.
----------------------

функция задана.

Если да, то здесь единственный элемент $\{3\}$ соответствует некоторому, тоже единственному, элементу $y$. Элемент $\{3\}$ не пробегает множество $\mathbb{R}$.

А Вы что думаете?

[Xaositect]

errnough в сообщении #320344 писал(а):

А Вы что думаете?

То, что я думаю, я написал в предыдущем посте. Элемент 3 вообще ничего не пробегает, это константа, а аргументами являются переменные. Да, я согласился, что для того, чтобы задать функцию $\{3\}\to Y$, достаточно задать ее в точке 3. Но я не говорил, что нам где-то будут нужны функции $\{3\}\to Y$. Я специально писал, что функции $\{3\}\to\mathbb{Y}$ и $\mathbb{R}\to\mathbb{Y}$ - это разные функции. И я написал, что в уравнении рассматриваются функции на пересечении естественных областей определения, и в нашем случае это $\mathbb{R}$.

То, что Вы записали определение функции с областью определения $\{3\}$, не отменяет того, что существуют функции с другими областями определения, и они таким образом не задаются. И в уравнении получаются именно они.

[errnough]

Элемент 3 вообще ничего не пробегает, это константа,
нет в определении термина "константа". Это элемент множества.

а аргументами являются переменные.
снова, нет в определении термина "переменная". Есть элемент множества.

чтобы задать функцию $\{3\}\to Y$, достаточно задать ее в точке 3.
??? Недостаточно. Откуда такая достаточность следует? Из определения? Нет, не может из определения, там явно прописано: требуется область определения и закон соответствия каждому элементу из области определения некоторому элементу из области значений.

я написал, что в уравнении рассматриваются функции на пересечении естественных областей определения, и в нашем случае это $\mathbb{R}$.
Укажите, пожалуйста, явно, по определению, для данной, конкретной функции, заданной описанием, эту естественную область определения. Не могу поверить, что за тем заданием с помощью описания функции, прячется еще одна область определения, не тождественная уже объявленной, $\{3\}$. И что эта естественная перезаписывает объявленную область определения функции, заданой описанием.

[Xaositect]

errnough в сообщении #320361 писал(а):

Элемент 3 вообще ничего не пробегает, это константа,
нет в определении термина "константа". Это элемент множества.

а аргументами являются переменные.
снова, нет в определении термина "переменная". Есть элемент множества.

В определении функции - нет. Зато в формуле есть. Формула - это способ задания функции, а не сама функция.

errnough в сообщении #320361 писал(а):

??? Недостаточно. Откуда такая достаточность следует? Из определения? Нет, не может из определения, там явно прописано: требуется область определения и закон соответствия каждому элементу из области определения некоторому элементу из области значений.

Из определения и из того, что область определения содержит ровно один элемент. Значит, только этому элементу и достаточно задать соответствие.

errnough в сообщении #320361 писал(а):

Укажите, пожалуйста, явно, по определению, для данной, конкретной функции, заданной описанием, эту естественную область определения. Не могу поверить, что за тем заданием с помощью описания функции, прячется еще одна область определения, не тождественная уже объявленной, $\{3\}$. И что эта естественная перезаписывает объявленную область определения функции, заданой описанием.

Когда написано просто "уравнение $x=3$", вы нигде не объявляете область определения, поэтому она считается естественной. Если Вы напишете "уравнение $x=3$, где $x$ пробегает множество $\{3\}$" - то да, вы явно задали область определения.

В общем, мне надоело с Вами переливать воду из пустого в порожнее. Как это уравнение понимается, я написал. Не верите - не верьте.

[errnough]

«9. Совершенно не встречается теперь в чистом виде пятый тип спора: спор-игра, спор-упражнение. Сущность этого типа выражена в его названии. Он процветал, в древнем мире, особенно в Греции. Вот как описывает эту игру Минто в своей логике (изд. IV, с. 6-7). "Спорят двое; но они не излагают по очереди своих воззрений в целых речах, как это делается в теперешних дебатах. У древних греков один из собеседников только предлагал вопросы, другой только давал ответы. Отвечающий мог говорить исключительно "да" или "нет", разве иногда с небольшим разъяснением; спрашивающий, со своей стороны, должен был предлагать только такие вопросы, которые допускают лишь простой ответ: "да", "нет". Цель спрашивающего—вынудить у собеседника согласие с утверждением, противоречащим тезису, который тот взялся защищать, т.е. привести его к противоречию с самим собою. Но так как только очень глупый собеседник мог бы сразу попасть на эту удочку, то спрашивающий предлагал ему общие положения, аналогии, примеры из обыденной жизни, вел его от одного допущения к другому и, наконец, составляя их все вместе, принуждал его самого признать свою непоследовательность".»
[С. И. Поварнин. Искусство спора. О теории и практике спора. Петроград — 1923. стр.20, Гл. 6, Виды спора (продолжение)]

[Maslov]

(Частное мнение)

errnough,
Ваше мастерство в высоком искусстве спора очевидно Вам одному. При взгляде со стороны большинство Ваших выступлений выглядят как тривиальный троллинг, осложнённый ещё тем обстоятельством, что Вы абсолютно не понимаете предмета, о котором пишете (я имею в виду математику), и, более того, совершенно не стремитесь в этом предмете разобраться.

Дискуссии с Вами прекращаются не потому, что Вы кого-то в чём-то убедили, а просто потому, что продолжение становится скучным и очевидно бессмысленным. Хотя Вы, конечно, можете трактовать это обстоятельство как свидетельство Вашей убедительной победы.