Компелксные числа

[Mitrius_Math]

caxap в сообщении #320004 писал(а):

Если нарисовать точно квадрат со стороной 1, то длина его диагонали будет иррациональным числом, т. е. ограничится одними только рациональными нельзя.

Ну а как быть с другими иррациональными числами?

[ewert]

caxap в сообщении #320004 писал(а):

все эти натуральные, целые, рац. и т. д. одним словом вещественные числа могут иметь физический реальный смысл как результат измерения физической величины. Если нарисовать точно квадрат со стороной 1, то длина его диагонали будет иррациональным числом, т. е. ограничится одними только рациональными нельзя. А вот комплекные числа -- уже действительно "искуственные", нет в природе комплексных величин.

Их "нет в природе" ровно в том смысле, что они неупорядоченны. Не больше и не меньше. Но это ещё не означает, что они не имеют физического смысла. Скажем, функции тоже неупорядоченны. Однако же в природе они "есть".

Строго говоря, в природе вообще ничего нет. Нет и "обычных" чисел. Всё это -- некоторые искусственные конструкции, придуманные нами для удобства. И с этой точки зрения комплексные числа ничем не хуже и не лучше вещественных (которые, кстати, появились гораздо позже).

[arseniiv]

Если назвать "существующими в природе" те числа, которые мы можем получить в результате измерений, то существующими окажутся только неотрицательные рациональные. Из-за сравнений с эталонами.

Кстати, никто не сказал об одном замечательном применении комплексных чисел, когда с памятью и справочниками плохо: благодаря теореме Эйлера можно легко выводить любые тригонометрические соотношения, и довольно быстро!

Кстати: скалярное произведение векторов можно определить для евклидовых пространств всех размерностей, а векторное - для размерностей $\geqslant 2$. Просто число множителей в нём равно размерности минус 1. А с комплексным произведением такого не видно... Нет естественного его обобщения на недвумерные векторы.

-- Вс май 16, 2010 19:20:10 --

Если быть точнее (а надо бы), то евклидовы пространства как раз потому и евклидовы, что на них определено скалярное произведение, но тут это не так важно.

-- Вс май 16, 2010 19:20:46 --

Хотя и так почти все в этой теме это знают.

[Mitrius_Math]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #320075 писал(а):

Кстати, никто не сказал об одном замечательном применении комплексных чисел, когда с памятью и справочниками плохо: благодаря теореме Эйлера можно легко выводить любые тригонометрические соотношения, и довольно быстро!

Я всегда пользуюсь, когда нужно преобразовать произведение тригонометрических функций в сумму, а наоборот один раз попробовал, но не получилось. А я-то обрадовался... Думал, можно забыть про ненавистные в большинстве своём формулы тригонометрии.

[ewert]

arseniiv в сообщении #320075 писал(а):

Просто число множителей в нём равно размерности минус 1.

Вот именно. Поэтому в не трёхмерном пространстве это уже не произведение.

Кстати, насчёт геометрической интерпретации комплексных чисел: $\mathop{\mathrm{Re}}(\overline a\,b)=\vec a\cdot\vec b$ и $\mathop{\mathrm{Im}}\overline a\,b=\vec a\times\vec b$. Иногда бывает полезно.

[EtCetera]

ewert

ewert в сообщении #320107 писал(а):

Кстати, насчёт геометрической интерпретации комплексных чисел: $\mathop{\mathrm{Re}}(\overline a\,b)=\vec a\cdot\vec b$ и $\mathop{\mathrm{Im}}\overline a\,b=\vec a\times\vec b$. Иногда бывает полезно.

Подозреваю, что в последней формуле чего-то не хватает.

[ewert]

Зато в ней кое-что есть -- умолчание. Вопреки распространённому мнению, векторное произведение на плоскости тоже полезно.

[arseniiv]

Полезно, ещё как! Например, для нахождения кривизны двумерной кривой.

[creative]

caxap в сообщении #320004 писал(а):

Я понял, что вы хотите сказать. Комплексные числа -- эта следующая "ступень" чисел, чтобы любое квадратное уравнение имело решение. Т. е. вслед за рациональными и иррациональными. Но меня интересует немного другое: все эти натуральные, целые, рац. и т. д. одним словом вещественные числа могут иметь физический реальный смысл как результат измерения физической величины. Если нарисовать точно квадрат со стороной 1, то длина его диагонали будет иррациональным числом, т. е. ограничится одними только рациональными нельзя. А вот комплекные числа -- уже действительно "искуственные", нет в природе комплексных величин. В физике нельзя извлечь корень из -1. Если в физической задаче мы приходим к такому -- значит мы где-то ошиблись.

А вот векторы имеют физическую сторону -- эта скаляр с направлением. Если ввести систему координат, то вектор можно отождествить с набором чисел.

Саймон Сингх "Великая теорема ферма":

Цитата:

В чистой математике мнимые числа используют для решения задач, ранее казавшихся неразрешимыми. Мнимые числа буквально добавили новое измерение к математике, и Эйлер надеялся, что ему удастся использовать эту дополнительную степень свободы в поисках доказательства Великой теоремы Ферма.

И до Эйлера некоторые математики уже пытались приспособить метод бесконечного спуска Ферма для решения уравнения Ферма в целых числах при n, отличных от 4, но всякий раз попытка распространить метод приводила к каким-нибудь проблемам в логике. И только Эйлер показал, что, используя число i, можно заткнуть все дыры в доказательстве и заставить метод бесконечного спуска работать при n=3.

[paha]

caxap в сообщении #320004 писал(а):

Я понял, что вы хотите сказать. Комплексные числа -- эта следующая "ступень" чисел

Никакая это не ступень. Это просто наименьшее алгебраически замкнутое поле, содержащее поле вещественных чисел)))

[ewert]

paha в сообщении #320222 писал(а):

Никакая это не ступень. Это просто наименьшее алгебраически замкнутое поле, содержащее поле вещественных чисел)))

это уж потом оно оказывается замкнутым, а поначалу -- просто ступень

[RIP]

кстати, к отрицательным числам математики тоже очень долго относились пренебрежительно. потому что ну нельзя нарисовать отрезок длины $-1$. т.е. это какие-то "ненастоящие", "мнимые" числа. и считать их полноценными числами начали уже после возникновения комплексных чисел. и кардано и компания, когда решали свои кубические уравнения, считали уравнения $x^3+px=q$ и $x^3-px=q$ разными уравнениями (и решали "по-разному"), поскольку все величины по определению считались положительными. а уж сколько было "разных" видов уравнений 4-й степени...
сегодня такого уже нет, просто потому что к вещественным числам и их свойствам приучают ещё в школе, и некоторые настолько к ним привыкают, что существование чисел, квадрат которых отрицателен, уже воспринимается как ересь...

[Профессор Снэйп]

RIP в сообщении #320311 писал(а):

Кстати, к отрицательным числам математики тоже очень долго относились пренебрежительно...

Читая в школе очерки по истории математики, узнал, что в средние века в Англии жил математик по фамилии Френд, который прославился тем, что не признавал существование отрицательных чисел. По крайней мере, в истории он остался именно за это

Поди тоже пытался убедить других, что отрицательные числа "не настоящие". Ну а в каком смысле "не настоящие"? Физический смысл они имеют: отрицательные температуры или просто долги в бюджете (если у меня в кошельке -2 рубля, это значит, что я 2 рубля кому-то должен). Тогда что? Предлагаемая физическая интерпретация "не настоящая", надуманная? Ну а где критерий?

В современной физике комплексные числа имеют интерпретацию. В квантовой механике, например: распределение вероятностей (нахождения частицы в определённой точке и т. п.) --- комплекснозначная функция.

[ewert]

RIP в сообщении #320311 писал(а):

просто потому что к вещественным числам и их свойствам приучают ещё в школе, и все настолько к ним привыкают, что существование чисел, квадрат которых отрицателен, уже воспринимается как ересь...

ну до вещественности тут дело всё-таки ещё не доходит.

Правильно привыкают. Дальше проблема в другом -- в неготовности принять новую матмодель и, главное, неготовности осмыслить полезность этой модели.

Профессор Снэйп в сообщении #320329 писал(а):

В современной физике комплексные числа имеют интерпретацию. В квантовой механике, например: распределение вероятностей (нахождения частицы в определённой точке и т. п.) --- комплекснозначная функция.

Ну, во-первых, это утверждение формально неверно. А во-вторых, пример не самый удачный: в КМ комплексность этой функции выглядит всего лишь как некий формальный трюк. И обосновываемый лишь абстрактными рассуждениями насчёт большей логической завершённостью комплексных гильбертовых пространств по сравнению с вещественными. Гораздо убедительнее ссылка на комплексные импедансы в электротехнике (к примеру).

[RIP]

ewert в сообщении #320335 писал(а):

Дальше проблема в другом -- в неготовности принять новую матмодель и, главное, неготовности осмыслить полезность этой модели.

ну да, примерно на это я и хотел намекнуть. высказался криво.