2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Бесконечные произведения
Сообщение15.05.2010, 21:24 
Равняются ли нулю следующие произведения:
$\prod_{k=1}^{\infty}\frac{1+e^{i\pi/2^k}}{2}$ и $\prod_{k=1}^{\infty}\cos\frac{\pi/2}{p_{k+1}}$, $p_n$ --- $n-$тое простое число.

 
 
 
 Re: Бесконечные произведения
Сообщение15.05.2010, 21:58 
Аватара пользователя
Второй сходится к чему-то конечному по той же причине, что и $\prod\limits_1^\infty\left(1-{1\over p_k^2}\right)$.
Первый внимательно не смотрел, но вроде должен делать то же самое, даже ещё быстрее.

 
 
 
 Re: Бесконечные произведения
Сообщение16.05.2010, 14:29 
Для меня является принципиальным вопрос сходятся ли они к нулю или к чему-то другому.

 
 
 
 Re: Бесконечные произведения
Сообщение16.05.2010, 15:04 
Для сходимости к нулю нужно, чтобы ряд из логарифмов расходился. А он довольно-таки очевидно сходится в обоих случаях.

 
 
 
 Re: Бесконечные произведения
Сообщение16.05.2010, 16:09 
ewert в сообщении #320041 писал(а):
Для сходимости к нулю нужно, чтобы ряд из логарифмов расходился.

Это понятно, но сходимость рядов из логарифмов для меня не совсем очевидна.

 
 
 
 Re: Бесконечные произведения
Сообщение16.05.2010, 16:13 
Аватара пользователя
Значит, поверьте на слово. Оба сходятся не к нулю; первый можно даже вычислить точно.

 
 
 
 Re: Бесконечные произведения
Сообщение16.05.2010, 16:32 
VTV в сообщении #320087 писал(а):
Это понятно, но сходимость рядов из логарифмов для меня не совсем очевидна.

Очевидна:

$-\ln\cos\frac{\pi/2}{p_{k+1}}\sim-\ln(1-{1\over2}(\frac{\pi/2}{p_{k+1}})^2)\sim{1\over2}(\frac{\pi/2}{p_{k+1}})^2<{\mathrm{const}\over k^2}$,

а ряд из обратных квадратов сходится. Другой ряд, как метко заметил ИСН -- ещё круче.

 
 
 
 Re: Бесконечные произведения
Сообщение16.05.2010, 16:52 
У меня получается
$\frac{1+e^{i\pi/2^k}}{2}=\cos \frac{\pi}{2^{k+1}}e^{i\pi/2^{k+1}}$
и следовательно
$\prod_{k=1}^{\infty}\frac{1+e^{i\pi/2^k}}{2}=e^{i\pi/2}\prod_{k=1}^{\infty}\cos \frac{\pi}{2^{k+1}}$
Правильно ли это и что делать из $\prod_{k=1}^{\infty}\cos \frac{\pi}{2^{k+1}}$?

Извеняюсь, уже понял что делать

 
 
 
 Re: Бесконечные произведения
Сообщение16.05.2010, 16:57 
$$2^n\sin{\pi\over2^{n+1}}\cdot\prod\limits_{k=1}^n\cos{\pi\over2^{k+1}}=\ldots=\sin{\pi\over2}$$ и, следовательно, ...

 
 
 
 Re: Бесконечные произведения
Сообщение16.05.2010, 17:02 
Спасибо

 
 
 
 Re: Бесконечные произведения
Сообщение16.05.2010, 23:06 
Аватара пользователя
VTV в сообщении #320018 писал(а):
Для меня является принципиальным вопрос сходятся ли они к нулю или к чему-то другому.
произведение не может сходиться к нулю. если предел частичных произведений равен нулю, то бесконечное произведение по определению расходится (иногда уточняют: расходится к нулю). для бесконечных произведений с аналитическими функциями определение немножко корректируют.

 
 
 [ Сообщений: 11 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group