Уравнение или тождество?

[errnough]

Конкретная реализация и алгоритм это совсем разные вещи. Алгоритм работает над данными. Нет данных, нет алгоритма. А данных у Вас не видно.

Разметим текст тегами — заключим в угловые кавычки <> те знакоместа, изменение содержимого которых отслеживаем в тексте. Это наши входные параметры. Изменение данных в угловых кавычках <> в Вашем определении функции управляет изменением символа в знакоместе, отмеченным пустым квадратиком: $g(\Box)$.

Функцией называется соответствие $f$, которое каждому элементу <$a$> множества <$A$> сопоставляет некоторый элемент $y$ множества $Y$. <$A$> при этом называется областью определения, а $Y$ — (формальной) областью значений функции $f$. Запись $f\colon <A>\to Y$ означает, что $f$ есть функция, определенная на <$A$> и принимающая значения в $Y$.

Факт первый:
$<a>\colon=lowercase(<A>)$, при этом очевидно, что содержимое <A> управляет содержимым <a>.

If все <A> изменятся на <X> Then
все <a> изменятся на <x>
g(a) изменится на g(x)
End If

С этим согласны?

И факт, по которому Вы не высказали своего мнения:
Если множество $W$ состоит из одного элемента $w$, то этот факт математически записывается в виде тождества $W \equiv \{w\}$. Если Вы согласны, то тождественные элементы могут без ограничений использоваться в подстановках.

[Xaositect]

errnough в сообщении #319820 писал(а):

Конкретная реализация и алгоритм это совсем разные вещи. Алгоритм работает над данными. Нет данных, нет алгоритма. А данных у Вас не видно.

Алгоритм - это одно из представлений функции. Такое же, как формула, например. Не все функции могут быть представлены в виде алгоритмов, но наши две - могут.

[Maslov]

errnough,
читаю я всё это, читаю, и только один вопрос не даёт мне покоя: ЗАЧЕМ всё это? Только для того, чтобы обоснавать Ваш исходный тезис?

errnough в сообщении #318841 писал(а):

Нет, ни черта я не понимаю в логике этой математики...

Так это и так все давно поняли.

[Xaositect]

errnough в сообщении #319820 писал(а):

Разметим текст тегами — заключим в угловые кавычки <> те знакоместа, изменение содержимого которых отслеживаем в тексте. Это наши входные параметры. Изменение данных в угловых кавычках <> в Вашем определении функции управляет изменением символа в знакоместе, отмеченным пустым квадратиком: $g(\Box)$.

Функцией называется соответствие $f$, которое каждому элементу <$a$> множества <$A$> сопоставляет некоторый элемент $y$ множества $Y$. <$A$> при этом называется областью определения, а $Y$ — (формальной) областью значений функции $f$. Запись $f\colon <A>\to Y$ означает, что $f$ есть функция, определенная на <$A$> и принимающая значения в $Y$.

Факт первый:
$<a>\colon=lowercase(<A>)$, при этом очевидно, что содержимое <A> управляет содержимым <a>.

Формулируйте аккуратнее. $a$ здесь является переменной, пробегающей множество $A$.

Цитата:

If все <A> изменятся на <X> Then
все <a> изменятся на <x>
g(a) изменится на g(x)
End If

С этим согласны?

Этого я не понимаю. Если мы $A$ заменим на $X$, мы совершенно не обязаны менять $a$ на $x$, мы можем считать $a$ переменной, пробегающей множество $X$.

Цитата:

И факт, по которому Вы не высказали своего мнения:
Если множество $W$ состоит из одного элемента $w$, то этот факт математически записывается в виде тождества $W \equiv \{w\}$. Если Вы согласны, то тождественные элементы могут без ограничений использоваться в подстановках.

Да, я с этим согласен.

[errnough]

Xaositect в сообщении #319829 писал(а):

Если мы $A$ заменим на $X$, мы совершенно не обязаны менять $a$ на $x$, мы можем считать $a$ переменной, пробегающей множество $X$.

Это не логично, потому что затрудняет чтение для человека. Общепринято, элементы множества $A$ обозначать маленькой буквой $a$, элементы множества $X$ обозначать маленькой буквой $x$ и т.д. Вы не замечали такой закономерности в текстах? Мы можем усложнить себе жизнь, и считать что множество $X$ имеет элементы $y$, а множество $Y$ имеет элементы $x$, поскольку нам кажется, что формальных поводов установить ассоциацию lowercase для этого нет. Но в уме мы будем заниматься обратным переназначением ассоциаций, ну и кого хотели обмануть? Надуть щеки тем, что на бумаге якобы всё строго? Поднимите контекст повыше и закономерность проявится. Не нравится мне этот Ваш аргумент, не логичный. Ну да ладно, остальное на завтра.

[errnough]

Я увидел, что выяснение способа записи пока можно отложить на потом, поскольку тождество $W \equiv \{w\}$ для множества с единственным элементом дает возможность сформулировать вот такой аргумент:

В Вашем определении функции для конкретного случая $g(a) = 3$, я сделаю подстановку вида $A \equiv \{a\}$. То есть, множество $A$ состоящее из одного элемента $a$ заменю во всех высказываниях этим элементом $a$, и получится для этого конкретного случая $A \equiv \{3\}$. Тогда, единственный элемент $3$ соответствует некоторому единственному элементу $y$, далее Ваше определение функции:

--------------------
Функцией называется соответствие $f$, которое данному элементу <$3$> сопоставляет некоторый элемент $y$ множества $Y$. <$3$> при этом называется областью определения, а $Y$ — (формальной) областью значений функции $f$. Запись $f\colon <$3$>\to Y$ означает, что $f$ есть функция, определенная на <$3$> и принимающая значения в $Y$.
----------------------

Из этого определения следует, что единственному элементу соответствует единственный элемент. В пространстве это точка. Безотносительно формы записи, она вторична, и безотносительно указания размерности пространства.

Если множество из одной точки — это алгебраическая кривая, и множество из одного элемента в высказываниях можно заменить на этот элемент, то точка есть алгебраическая кривая. Я утверждаю: символьное равенство вида $g(a) = k$, где $k$ — число, это способ задания нового класса алгебраических кривых, точек. Новизна в том, что до сих пор этим символьным равенством, считалось, задается плоская линия прямая.

Остается вопрос о форме записи. Если форма записи $g(a) = k$ не соответствует определению функции, и для меня требование однозначности записи уравнения очевидно, то моя настойчивость в объяснении некорректности этой записи, наверное, понятна.

[Xaositect]

errnough в сообщении #319892 писал(а):

Я увидел, что выяснение способа записи пока можно отложить на потом, поскольку тождество $W \equiv \{w\}$ для множества с единственным элементом дает возможность сформулировать вот такой аргумент:

В Вашем определении функции для конкретного случая $g(a) = 3$, я сделаю подстановку вида $A \equiv \{a\}$. То есть, множество $A$ состоящее из одного элемента $a$ заменю во всех высказываниях этим элементом $a$, и получится для этого конкретного случая $A \equiv \{3\}$.

Да почему $A$-то равно $\{3\}$? Это $Y$ можно заменить на $\{3\}$, т.е. на полный прообраз. А $A$ у нас обычно $\mathbb{R}$, и если мы меняем его на $\{3\}$, мы теряем, например, тот факт, что $g(4) = 3$.

Цитата:

...Тогда, единственный элемент $3$ соответствует некоторому единственному элементу $y$, далее Ваше определение функции:

--------------------
Функцией называется соответствие $f$, которое данному элементу <$3$> сопоставляет некоторый элемент $y$ множества $Y$. <$3$> при этом называется областью определения, а $Y$ — (формальной) областью значений функции $f$. Запись $f\colon <$3$>\to Y$ означает, что $f$ есть функция, определенная на <$3$> и принимающая значения в $Y$.
----------------------

Функцией называется соответствие $f$, которое данному элементу <$3$> сопоставляет некоторый элемент $y$ множества $Y$. <${\color{red}\{}3{\color{red}\}}$> при этом называется областью определения, а $Y$ — (формальной) областью значений функции $f$. Запись $f\colon <{\color{red}\{}3{\color{red}\}}>\to Y$ означает, что $f$ есть функция, определенная на <${\color{red}\{}3{\color{red}\}}$> и принимающая значения в $Y$.

Цитата:

Из этого определения следует, что единственному элементу соответствует единственный элемент. В пространстве это точка. Безотносительно формы записи, она вторична, и безотносительно указания размерности пространства.

Дайте более фрмальное определение того, что уравнение задает кривую.

Цитата:

Если множество из одной точки — это алгебраическая кривая, и множество из одного элемента в высказываниях можно заменить на этот элемент, то точка есть алгебраическая кривая. Я утверждаю: символьное равенство вида $g(a) = k$, где $k$ — число, это способ задания нового класса алгебраических кривых, точек. Новизна в том, что до сих пор этим символьным равенством, считалось, задается плоская линия прямая.

Множество из одной точки - это алгебраическая кривая, а вот замена "множество из одной точки" на "точка" - это уже некоторая вольность речи, об этом нужно помнить.

[errnough]

Xaositect в сообщении #319920 писал(а):

$A$ у нас обычно $\mathbb{R}$,

Именно в этом суть возражения, правильно?

Сравните два определения, чистое, общее, Ваше и конкретное под конкретный случай, мое:

• Функцией называется соответствие $f$, которое каждому элементу $a$ множества $A$ сопоставляет некоторый элемент $y$ множества $Y$. $A$ при этом называется областью определения, а $Y$ — (формальной) областью значений функции $f$. Запись $f\colon A\to Y$ означает, что $f$ есть функция, определенная на $A$ и принимающая значения в $Y$.
  
  
• Функцией называется соответствие $f$, которое данному элементу $3$ сопоставляет некоторый элемент $y$ множества $Y$. $3$ при этом называется областью определения, а $Y$ — (формальной) областью значений функции $f$. Запись $f\colon $3$\to Y$ означает, что $f$ есть функция, определенная на $3$ и принимающая значения в $Y$.

Откуда следует, что множество $A$ у нас $\mathbb{R}$? Вы в другой контекст поднимаетесь, более общий? тогда укажите его.

Цитата:

Дайте более формальное определение того, что точка задает кривую.

В данном контексте, в обычной математике, это затруднительно. Не хватает еще нескольких сформулированных теорем. Дать доступ на несколько страниц моей работы по основам математики я пока не готов. Просто потому, что там беспорядок и такое стыдно показывать :)

[Xaositect]

errnough в сообщении #319926 писал(а):

Откуда следует, что множество $A$ у нас $\mathbb{R}$? Вы в другой контекст поднимаетесь, более общий? тогда укажите его.

В случае школьных уравнений, под $A$ понимается естественная область допустимых значений, т.е. пересечение естественных областей определения левой и правой частей, в случае, когда переменные пробегают множество $\mathbb{R}$. Т.е., если ничего не сказано про то, как мы рассматриваем уравнение $x=3$, то мы его рассматриваем как уравнение на $\mathbb{R}$.

В случае кривых на плоскости, у нас две координаты и две переменных, ассоциированных с ними, т.е. $A$ будет $\mathbb{R}^2$, поскольку и $x$, и $3$ имеют смысл при всех значениях $(x,y)$

[errnough]

Xaositect в сообщении #319930 писал(а):

В случае школьных уравнений, под $A$ понимается естественная область допустимых значений

Вы же о другом понятии сейчас говорите, об уравнении. А речь идет чисто о функции. Уравнение это две функции по обеим сторонам от знака равенства. И там область $A$ именно пересечение областей определения левой и правой части.

Давайте о функции. Отвлечемся от вопроса, по которому не пришли к согласию, от формы записи. У нас есть только определение, по сути, это запись на метаязыке. Метаязык гораздо более точен.

PS________
Если одна часть уравнения имеет областью определения один элемент, то область пересечения со второй частью либо пуста, либо один элемент.

[Xaositect]

То есть мы пока не говорим об уравнении? Замечательно, вспомним мои аргументы, когда начнем о нем говорить.

Ну, допустим. у нас для любого $X$ есть функция $g\colon X\to Y$, задаваемая равенством $g(x) = 3$. В частности, если $X={3}$, то она полностью задается одним значением $g(3) = 3$.

Надо понимать, что функция $g\colon \mathbb{R}\to Y$: $g(x) = 3$ и функция $g\colon \{3\}\to Y$: g(3) = 3 - это разные функции. вторая является ограничением первой на область $\{3\}$

И вы упорно не пишете скобки в вашем определении там, где их надо писать, где я их красным выделил.

-- Вс май 16, 2010 12:04:58 --

errnough в сообщении #319933 писал(а):

Если одна часть уравнения имеет областью определения один элемент, то область пересечения со второй частью либо пуста, либо один элемент.

Да, но в случае $x=3$ это не так.

[errnough]

Xaositect в сообщении #319938 писал(а):

$g\colon \mathbb{R}\to Y$: $g(x) = 3$ и функция $g\colon \{3\}\to Y: g(3) = 3$ - это разные функции.

Желательно пока по отдельности, по функциям. А затем сведем их в уравнение.

Может, уберем спорную запись $g(x)$ или $g(3)$? Спорить можно об оттенках, но когда один говорит черное, а второй зеленое, то оснований для спора нет. Оставим:
1. $g\colon \mathbb{R}\to Y$
2. $g\colon \{3\}\to Y$
Согласны?

Насчет расстановок фигурных скобок. Пусть задано множество $Q=\{a,b,c\}$. Какая из записей некорректная:
Выберем элемент $b$.
Выберем элемент $\{b\}$.
?

[Xaositect]

errnough в сообщении #319948 писал(а):

Xaositect в сообщении #319938 писал(а):

$g\colon \mathbb{R}\to Y$: $g(x) = 3$ и функция $g\colon \{3\}\to Y: g(3) = 3$ - это разные функции.

Желательно пока по отдельности, по функциям. А затем сведем их в уравнение.

Может, уберем спорную запись $g(x)$ или $g(3)$? Спорить можно об оттенках, но когда один говорит черное, а второй зеленое, то оснований для спора нет. Оставим:
1. $g\colon \mathbb{R}\to Y$
2. $g\colon \{3\}\to Y$
Согласны?

Да, давайте пока так. Надо только помнить, что это разные функции.

Цитата:

Насчет расстановок фигурных скобок. Пусть задано множество $Q=\{a,b,c\}$. Какая из записей некорректная:
Выберем элемент $b$.
Выберем элемент $\{b\}$.
?

Здесь правильная первая. Когда говорим об элементе - пишем $b$, когда о множестве - $\{b\}$.

[errnough]

Xaositect в сообщении #319950 писал(а):

это разные функции.

Конечно, разные, по определению.

Xaositect в сообщении #319950 писал(а):

Когда говорим об элементе - пишем $b$, когда о множестве - $\{b\}$.

Но мы же согласились, что $W \equiv \{w\}$ для множества с единственным элементом. Поэтому множество $A$ состоящее из одного элемента $a$ я заменил во всех высказываниях этим элементом $a$, убрав фигурные скобки. И получилось вот это:

--------------------
Функцией называется соответствие $f$, которое данному элементу $3$ сопоставляет некоторый элемент $y$ множества $Y$. $3$ при этом называется областью определения, а $Y$ — (формальной) областью значений функции $f$. Запись $f\colon $3$\to Y$ означает, что $f$ есть функция, определенная на $3$ и принимающая значения в $Y$.
----------------------

Ну и далее, не прибегая к спорным записям, вывод о том, что данное частное определение дает определение частной функции, задающей алгебраическую линию класса «точки» в пространстве.

[Xaositect]

errnough в сообщении #319952 писал(а):

Xaositect в сообщении #319950 писал(а):

это разные функции.

Конечно, разные, по определению.

Xaositect в сообщении #319950 писал(а):

Когда говорим об элементе - пишем $b$, когда о множестве - $\{b\}$.

Но мы же согласились, что $W \equiv \{w\}$ для множества с единственным элементом. Поэтому множество $A$ состоящее из одного элемента $a$ я заменил во всех высказываниях этим элементом $a$, убрав фигурные скобки. И получилось вот это:

Вот именно. $W\equiv \{w\}$, а не $W\equiv w$. Поэтому там, где стоит множество, надо заменить $W$ на $\{w\}$, а не на $w$

-- Вс май 16, 2010 13:04:46 --

errnough в сообщении #319952 писал(а):

Ну и далее, не прибегая к спорным записям, вывод о том, что данное частное определение дает определение частной функции, задающей алгебраическую линию класса «точки» в пространстве.

В пространстве что-то задают уравнения, а не функции.